专题10 导数与函数的单调性（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第10讲 导数与函数的单调性 学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、知识梳理 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 2、 考点和典型例题 1、不含参函数的单调性 【典例1-1】1．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：因为，所以，所以在上单调递减， 则等价于，解得，即原不等式的解集为. 故选：B. 2．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数的单调增区间是(       ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ∵，∴， 当x＞2时，，∴f(x)的单调递增区间是． 故选：D． 3．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设函数， 所以，因为， 所以，即，所以在上单调递减，因为， 所以，因为，整理得， 所以，因为在上单调递减，所以. 故选：C. 4．（2022·浙江金华·模拟预测）已知函数 (1)当时，讨论的单调区间； (2)当时，若有两个零点，且，求证：. 【解析】(1) 当时， 所以，当时，在上增，在上减； 当时，在上减，在上增. (2) 方法一：参数分离 有两个不同的零点 令，则 令得 当时，，所以：在递增； 当时，，所以：在递减.显然时，. 作出的图象如下： 所以：∴， 所以：，所以，； 下面证明：.要证：，因为 所以： 由（1）得.所以，原不等式得证. 综上所述：. 方法二：部分参数分离 零点. 从而为的图像与交点的横坐标.对给定的a，令使得，即， 得，存在且唯一，此时的图像与有唯一交点. 又，由（1）得，当时，，所以， （这里要说明）又因为成立. 5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，（且）. (1)当时，求的单调区间； (2)若函数有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)增区间为，减区间为(2) 【解析】(1) 当时，， 当时，，当时； 故的单调递增区间为，递减区间为. (2)由题意知在有两个不等实根， ， 令，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 又，，，，，， 作出的图象如图所示： 由图可知，解得且， 即a的取值范围为. 2、 含参函数的单调性 【典例2-1】1．（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， 若时，当时，；当时，； 则在上单调递减；在上单调递增. 所以当时，取得极小值，与条件不符合,故满足题意. 当时，由可得或；由可得 所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得极大值，满足条件. 当时，由可得或；由可得 所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得极小值，不满足条件. 当时，在上恒成立，即在上单调递增. 此时无极值. 综上所述：满足条件 故选：A 2．（2021·湖北·应城市第一高级中学高三阶段练习）已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：由已知可得即为， 设，， 则， 当时，显然，当时，在上也成立， 所以时，在上单调递减，恒成立； 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 于是，存在，使得，不满足，舍去此情况， 综上所述，. 故选：A. 3．（2021·黑龙江绥化·高三阶段练习（理））已知，则下列说法正确的是（       ） A．当时，有极大值点和极小值点 B．当时，无极大值点和极小值点 C．当时，有最大值 D．当时，的最小值小于或等于0 【答案】D 【详解】 由题设，且， 当时，则在上递增，无极值点和最大值，A、C错误； 当时，若则，递减；则，递增； 所以，即无极大值点，有极小值点，B错误； 令且，则， 当时，递增；当时，递减； 所以，即的最小值小于或等于0，D正确； 故选：D 4．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知，则（       ） A．当