备战2022届高考考前二级公式微专题训练系列第9章解三角形（1)三角形的边与角基本性质

备战2022高考考前二级公式微专题系列 第9章 解三角形 （1）三角形的边与角基本性质 在中，内角的对边分别为，三角形的边与角常见关系： 1、内角和定理：，一般要用到三角形的内角和定理变角； 2、边角关系：大边对大角，等边对等角，小边对小角，反之亦成立， 即：，，； 3、三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 即：，，, ，， 4、在△ABC中的常见的诱导公式：用这个特殊性（二表一） ， ，， ， ， ， ， sin(2A＋2B)＝－sin 2C，cos(2A＋2B)＝cos 2C. 5、正弦平方差公式：例如sin2A－sin2B=sin(A+B)sin(A－B); 6、三角形中的二倍角公式：例如； 7、在斜中， 8、对任意三角形，都有. 9、， ， ； 10、若，则或； 11、； 12、在中，给定、的正弦或余弦值，则的正弦或余弦有解（即存在）的充要条件是；（也可以用9中的结论来判断） 13、在中，、、成等差数列； 14、为正三角形、、成等差数列且、、成等比数列. 15、直角三角形中的结论： （1）两锐角互余，即； （2）角所对的直角边等于斜边的一半； （3）勾股定理：； （4）斜边上的中线等于斜边的一半，外接圆的圆心为斜边的中点，垂心为直角顶点； （5）如图可得： （6）由（2）可得直角三角形中的射影定理： ；； D C B A 16、锐角三角形中的结论： （1）任意两角之和大于900； （2）至少有一角不小于600； （3）任意两角之和的余弦值小于0； （4）. （5）锐角中，O为三角形所在平面上一点，O到三角形三边BC,CA,AB的距离分别为x,y,z： 当O为重心时，; 当O为外心时，; 当O为垂心时，; （6）锐角中，O为三角形所在平面上一点： 当O为外心时，, ,,; 当O为内心时，，，. 【能力过关检测】 1、在中，角=；，为的内心，求的最大值. 2、已知在△ABC中，sin（A+B）＝1+2sin2． （1）求角C的大小； （2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值． 3、在中，过重心G的直线与边交于P，与边交于，点P，Q不与B，C重合设面积为，面积为，，（为正数）． (1)求；(2)求的值；(3)求的取值范围 高中数学教学系列 学习数学的价值在于养成数学思维与数学方法，在于用数学知识去研究和解决问题！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $备战2022高考考前二级公式微专题系列 第9章 解三角形 （1）三角形的边与角基本性质 在中，内角的对边分别为，三角形的边与角常见关系： 1、内角和定理：，一般要用到三角形的内角和定理变角； 2、边角关系：大边对大角，等边对等角，小边对小角，反之亦成立， 即：，，； 3、三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 即：，，, ，， 4、在△ABC中的常见的诱导公式：这个特殊性（二表一） ， ，， ， ， ， ， sin(2A＋2B)＝－sin 2C，cos(2A＋2B)＝cos 2C. 5、正弦平方差公式：例如sin2A－sin2B=sin(A+B)sin(A－B); 6、三角形中的二倍角公式：例如； 7、在斜中， 8、对任意三角形，都有. 9、， ， ； 10、若，则或； 11、； 12、在中，给定、的正弦或余弦值，则的正弦或余弦有解（即存在）的充要条件是；（也可以用9中的结论来判断） 13、在中，、、成等差数列； 14、为正三角形、、成等差数列且、、成等比数列. 15、直角三角形中的结论： （1）两锐角互余，即； （2）角所对的直角边等于斜边的一半； （3）勾股定理：； （4）斜边上的中线等于斜边的一半，外接圆的圆心为斜边的中点，垂心为直角顶点； （5）如图可得： （6）由（2）可得直角三角形中的射影定理： ；； D C B A 16、锐角三角形中的结论： （1）任意两角之和大于900； （2）至少有一角不小于600； （3）任意两角之和的余弦值小于0； （4）. （5）锐角中，O为三角形所在平面上一点，O到三角形三边BC,CA,AB的距离分别为x,y,z： 当O为重心时，; 当O为外心时，; 当O为垂心时，; （6）锐角中，O为三角形所在平面上一点： 当O为外心时，, ,,; 当O为内心时，，，. 【能力过关检测】 1、在中，角=；，为的内心，求的最大值. 【分析】设，由为的内心，得到，从而表示出，在中，由正弦定理表示出与，化简得，可求其最大值. 【解析】设，为的内心，且， ， ， 在中，由正弦定理得，， ，， . 当且仅当，即为等边三角形时取等号， 故的最