秘籍14 二次函数与动点的综合-备战2022年中考数学抢分秘籍

秘籍14 二次函数与动点的综合 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 一个动点或两个动点与其它知识的综合运用 二次函数与动点的综合是初中数学的重点内容，也是各地中考考查的一个热点！往往作为大家所说的压轴题，其难度和重要性不言而喻。 1．从考点频率看，一个动点或两个动点与其它知识的综合运用是高频考点。 2．从题型角度看，以解答题形式考查，分值约11分。 1. “动点型问题”的基本类型。 ① 特殊四边形为背景；  ② 点动带线动得出动三角形；  ③ 探究动三角形的问题（相似、等腰三角形、面积）； ④ 求直线、抛物线的解析式；  ⑤ 探究存在性问题。  2.  “动点型问题”的解决方法。  解决“动点型问题”的关键是动中求静，灵活运用“动中求静”，找到并运用不变的数、不变的量、不变的关系，建立函数关系及综合应用代数、几何知识解决问题。  【要点诠释】  根据题意灵活运用特殊三角形和四边形的相关性质、判定、定理知识确定二次函数关系式，通过二次函数解析式或函数图象判定“动点型问题”涉及的线与线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积，还有存在、最值等问题。 例1．（2021·兰州）如图1，二次函数 的图象交坐标轴于点 ， ，点 为 轴上一动点. （1）求二次函数 的表达式； （2）过点 作 轴分别交线段 ，抛物线于点 ， ，连接 .当 时，求 的面积； （3）如图2，将线段 绕点 逆时针旋转90得到线段 . ①当点 在抛物线上时，求点 的坐标； ②点 在抛物线上，连接 ，当 平分 时，直接写出点P的坐标. 【答案】（1）解： 二次函数 的图象经过 解得 （2）解：由 ，令 解得 当 时， ，则 ； （3）解：如图，当点 在 轴下方时，过点 作 于点 ， 由 ，令 ， 解得 ， ， 将线段 绕点 逆时针旋转90得到线段 ， ， ， 设 ， 点在抛物线上， 解得 （舍） 当点 在 轴上方时，如图， 过点 作 于点 ，设 同理可得 点在抛物线上， 解得 （舍去）， 综上所述， 或 ； ②当 不平行于 轴时，过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，如图， 平分 ， ， ， ， ， 当 不平行于 轴时， 重合， ， 当 轴时，如图， 此时 则 综上所述，当 平方 时，点 的坐标为 或 . 【解析】【分析】 （1）将B（0，−2）代入y＝a（x＋3）（x−4）计算即可求解； （2）由题意令y=0可求得点A的坐标，由锐角三角函数tan∠OAB==求得OA的值，根据线段的构成PA=OA-OP求得PA的值，由锐角三角函数tan∠OAB=求得PQ的值，则可求得yc的值，然后根据S△ACQ＝QC·AP可求解； （3）①当点D在x轴下方时，过点D作DF⊥AP于点F，由题意易求得点B的坐标， 由旋转的性质易证可证明△BOP≌△PFD，于是可得BO=PF，OP=DF，设OP=DF=a（a＞0），由线段的构成OF=OP +PF =a+2，于是点D的坐标可表示为（a+2，-a），根据点D在抛物线上可得关于a的方程，解方程可求得a的值；当点D在x轴上方时，过点D作DF⊥AP于点F，连接PB，设OF=a（a＞0），同理可证△BOP≌△PFD，则BO=PF， DF=OP=a+2，于是点D的坐标可表示为（-a，a+2），根据点D在抛物线上可得关于a的方程，解方程可求得a的值； ②分情况讨论：①当PE∥y轴时，得xp=xE，则P（2，0）；②当PE不平行y轴时，过B点作BM⊥PB交PE于点M，过M点作MH⊥OB于点H，用角角边可证△BPO≌△GBF，则E点与M点重合，求得P（−，0）． 例2．（2021·黄冈）已知抛物线 与x轴相交于 ， 两点，与y轴交于点C，点 是x轴上的动点. 　　　 （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若 ，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线 于点G.过点P作 于点D，当n为何值时， ； （3）如图2，将直线 绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段 的中点，然后将它向上平移 个单位长度，得到直线 . ① ▲ ； ②当点N关于直线 的对称点 落在抛物线上时，求点N的坐标. 【答案】（1）解：将点 ， 代入 得： ， 解得 ， 则抛物线的解析式为 （2）解：由题意得：点 的坐标为 ， 对于二次函数 ， 当 时， ，即 ， 设直线 的解析式为 ， 将点 ， 代入得： ，解得 ， 则直线 的解析式为 ， ，