秘籍13 二次函数与特殊三角形和特殊四边形的综合-备战2022年中考数学抢分秘籍

秘籍13 二次函数与特殊三角形和特殊四边形的综合 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 ①与直角三角形有关的二次函数。 ②与平行四边形有关的二次函数。 二次函数是全国中考的热点，也是每年必考的！全国各地的中考数学试题都把二次函数作为压轴题。 1．从考点频率看，直角三角形和平行四边形与二次函数的综合是高频考点。 2．从题型角度看，以解答题形式考查，分值约11分。 几何分析法  特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。 几何要求 几何分析 涉及公式 应用图形 跟平行有的 图形  平移 、 平行四边形 矩形 梯形 跟直角有关的图形  勾股定理逆定理  利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等  直角三角形  直角梯形 矩形 跟线段有关的图形 利用几何中的全等、中垂线的性质等。 等腰三角形 全等 等腰梯形 跟角有关的图形  利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等 例1．（2021·郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k.抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点. （1）求抛物线H的表达式； （2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E.作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值； （3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）， ∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4， 将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0， 解得：a＝﹣1， ∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4； （2）解：如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3， 令x＝0，得y＝3， ∴C（0，3）， 设直线AC的解析式为y＝mx+n， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴ ， 解得： ， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3）， ∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+ ）2+ ， ∵﹣1＜0， ∴当m＝﹣ 时，PE有最大值 ， ∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴∠ACO＝45°， ∵PD⊥AB， ∴∠ADP＝90°， ∴∠ADP＝∠AOC， ∴PD∥OC， ∴∠PEF＝∠ACO＝45°， ∵PF⊥AC， ∴△PEF是等腰直角三角形， ∴PF＝EF＝ PE， ∴S△PEF＝ PE•EF＝ PE2， ∴当m＝﹣ 时，S△PEF最大值＝ ×（ ）2＝ ； （3）解：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC， 如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H， 则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG， 在△PQG和△ACO中， ， ∴△PQG≌△ACO（AAS）， ∴PG＝AO＝3， ∴点P到对称轴的距离为3， 又∵y＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1， 设点P（x，y），则|x+1|＝3， 解得：x＝2或x＝﹣4， 当x＝2时，y＝﹣5， 当x＝﹣4时，y＝﹣5， ∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）； ②当AC为平行四边形的对角线时， 如图3，设AC的中点为M， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴M（﹣ ， ）， ∵点Q在对称轴上， ∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x， 根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣ ）＝﹣3， ∴x＝﹣2，此时y＝3， ∴P（﹣2，3）； 综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）. 【解析】【分析】（1） 抛物线H：y＝a(x+1)2+4，将点A坐标代入可得a的值，据此可得抛物线的表达式； （2）由（1）知：y＝-x2﹣2x+3，令x=0，求出y的值，得到点C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，设P（m，-m2-2m+3），则E（m，m+3），表示出PE，结合二次函数的性质可得PE的最大值，易知△AOC是等腰直角三角形，则∠ACO＝45°，由平行线的性质易得△PEF是等腰直角三角形，表示出S△PEF，据此求解； （3） ①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，易证△PQG≌△A