7.1.1条件概率（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

7.1.1 条件概率 第七章 随机变量及其分布 人教A版2019选择性必修第三册 前情回顾 0 古典概型 随机事件 必然事件 不可能事件 互斥事件 对立事件 相互独立事件 和事件 积事件 概率的性质 概率是随机事件发生可能性大小的度量，你还记得哪些有关概率的知识？ 前情回顾 0 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数。 (1) 有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2) 等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 前情回顾 0 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 并事件（和事件） 交事件（积事件） 互斥（互不相容） 互为对立 A发生导致B发生 A与B至少一个发生 A与B同时发生 A与B不能同时发生 A与B有且仅有一个发生 A⊆B A∪B或A+B A∩B或AB A∩B=∅ A∩B=∅，A∪B=Ω 加法公式 ：如果事件与事件互斥，那么. 1 乘法公式 ：如果事件与事件相互独立，那么. 2 前情回顾 0 概率的性质 内容 性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 性质6 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0. 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)+P(B)=1. 如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 设A、B是一个随机试验中的两个事件，则有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 学习目标 1 2 3 结合古典概型，了解条件概率，理解并掌握条件概率公式． 理解并掌握条件概率公式，区分． 能利用条件概率公式计算相关问题． 0 新课引入 0 通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生 对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件． 对于任意事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立， 那么称事件A与事件B相互独立，简称独立 。 思考：如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？ 事件A与B不独立， 就是指其中一个事件发生的概率会受到另一个事件 发生的概率的影响。 读教材 0 阅读课本P44-P48，5分钟后完成下列问题： 1.？ 我们一起来探究“条件概率及其公式”吧！ 2.有什么区别与联系？ 01 03 02 目录 1 条件概率及其公式 学习过程 2 条件概率的性质 3 题型训练 1 新知探究 问题1 某个班级有45名学生， 其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示， 在班级里随机选择1人做代表, (1)选到男生的概率是多少? (2)已知选到的是团员， 那么选到的是男生的概率是多少? 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 解：(1)样本空间包含45个样本点.用表示 事件“选到团员”， 表示事件“选到男生”， 则=45， =30， =25. (2)“在选到团员（事件）的条件下, 选到男生（事件）”的概率记为， 以为样本空间来考虑事件发生的概率, 在新的样本空间中事件就是积事件, 它包含的样本点. 1 新知探究 问题2 假如生男孩和生女孩是等可能的, 随机选择一个有两个小孩的家庭, 那么： (1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ (2)如果已经知道这个家庭有女孩， 那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 解：(1)用表示事件“选择的家庭中有女孩”, 用表示 “选择的家庭中两个孩子都是女孩”, 所以, . (2)“在选择的家庭有女孩的条件下, 两个小孩都是女孩”的概率就是 “在事件发生的条件下, 事件发生”的概率, 记为. 成为样本空间, 新样本空间中的事件就是积事件, 1 新知探究 思考1：上面两个问题有什么共同点？ 解：上面两个问题中，在事件发生的条件下， 事件发生的概率都是 这个结论对于一般的古典概型仍然成立. Ω 思考2：有什么区别与联系？ 在事件发生的条件下，事件发生的概率，以含事件A为新样本空间；以全部可能性为样本空间。 如图所示，若已知事件发生，则成为样本空间.此时，事件发生的概率为包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即. 1 新知1－－条件概率及其公式 条件概率及其公式 一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率. Ω 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若， 则. 我们称为概率的乘法公式. 读法：一般把读作在事件发生的条件下，事件发生的概率. 1 新知1－－条件概率及其公式 当事件与相互独立时, 事件发生与否不影响事件发生的概率，这等价于成立。 对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件．即，且 反之，若 所以，即事件A与B相互独立。 注：A与B相互独立时，则P(AB)＝P(A)P(B)，且P(B|A)＝P(B). 注：表示在事件发生的条件下事件发生的条件概率； 而表示在事件发生的条件下事件发生的条件概念. 学以致用 例1 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率？ 解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A， 第2次抽到舞蹈节目为事件B， 则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. 给事件命名 1 计算事件样本点数 3 计算样本空间数 2 代入公式计算 4 学以致用 例1 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率？ 解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A， 第2次抽到舞蹈节目为事件B， 则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. 给事件命名 1 计算事件样本点数 3 计算样本空间数 2 代入公式计算 4 学以致用 例1 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率？ 解：F1:因为n(AB)＝12，n(A)＝20， F2：由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下， 学以致用 例2 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75， 连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良， 则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 由条件概率公式得： =0.8 A 解：设第1天空气质量为优良为事件A， 第2天空气质量为优良为事件B， 则第1天和第2天空气质量都为优良为事件AB. 给事件命名 1 计算事件概率 2 代入公式计算 3 学以致用 例3 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是（ ） A.0.665 B.0.564 C.0.245 D.0.285 则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95， ∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665. A 解：记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”， 给事件命名 1 计算事件概率 2 代入公式计算 3 思路点拨 条件概率公式的选择： (1)：此公式适用容易求样本空间和样本点； 若事件为古典概型，可利用公式， 即在缩小后的样本空间中计算事件发生的概率. (2)：此公式适合求对应事件的概率； 在原样本空间中，先计算，， 再利用公式计算求得； (3)：乘法公式； 题目若出现“在……发生的条件下……发生的概率”时，为条件概率问题： 01 03 02 目录 学习过程 1 条件概率及其公式 2 条件概率的性质 3 题型训练 2 新知2－－条件概率的性质 条件概率的性质 (1)设，则. (2)如果和是两个互斥事件，那么： (3)设和互为对立事件，则 (4). 条件概率只是缩小了样本空间, 因此条件概率同样具有概率的性质. 设，则 A B AB C AC B 学以致用 例1 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶， 若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为___. 解：设事件A:“其中一瓶是蓝色”,事件B:“另一瓶是红色”, 事件C:“另一瓶是黑色”,事件D:“另一瓶是红色或黑色”, 则D＝B∪C且B与C互斥. 给事件命名 1 计算对应概率 2 代入公式计算 3 故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)=+ 01 03 02 目录 学习过程 1 条件概率及其公式 2 条件概率的性质 3 题型训练 3 例1 高三毕业时，小红、小鑫、小芸等五位同学站成一排合影留念，已知小红、小鑫 二人相邻，则小鑫、小芸相邻的概率是_____. 解：设“小红、小鑫二人相邻”为事件， “小鑫、小芸二人相邻”为事件， 表示事件“小鑫与小红、小芸都相邻”， 则，故， 于是. 题型1－－条件概率的应用 给事件命名 1 计算对应概率 2 代入公式计算 3 3 例2 抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求： (1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率. 解：n(A)＝6×2＝12. 由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8, 5＋6＝6＋5>8,6＋6>8 知n(B)＝10， 其中n(AB)＝6. 题型1－－条件概率的应用 3 例3 袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球. 每次从袋子中随机 摸出1个球，摸出的球不再放回. 求: (1) 在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率？(2) 两次都摸到白球的概率？ 解：设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，则 题型1－－条件概率的应用 ∴在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为 ∴两次都摸到白球的概率为. (2)= 思路点拨 求条件概率的两种方法： F1：基于样本空间，先计算 和 ，再利用条件概率公式求： F2：根据条件概率的直观意义，增加了“发生”的条件后，样本空间缩小为，求就是以为样本空间计算的概率： 课堂小结 条件概率及其公式 一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率. Ω 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若， 则. 我们称为概率的乘法公式. 读法：一般把读作在事件发生的条件下，事件发生的概率. 课堂小结 条件概率的性质 (1)设，则. (2)如果和是两个互斥事件，那么： (3)设和互为对立事件，则 (4). 条件概率只是缩小了样本空间, 因此条件概率同样具有概率的性质. 设，则 A B AB C AC B 从6个节目中不放回地依次抽取2个， 总的事件数n(Ω)＝＝30. 根据分步乘法计数原理，有n(A)＝＝20， 所以P(A)＝＝＝. 从6个节目中不放回地依次抽取2个， 总的事件数n(Ω)＝＝30. 因为n(AB)＝＝12， 所以P(AB)＝＝＝. 第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝＝＝. 所以P(B|A)＝＝＝. 又P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝， (2)P(A|B)＝＝＝. 所以(1)P(B|A)＝＝＝. $$