专题04 基本不等式及其应用-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题04基本不等式及其应用 【考点预测】 1.基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （3）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成 立. 【题型归纳目录】 题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值 题型八：利用基本不等式证明不等式 题型九：利用基本不等式解决实际问题 【典例例题】 题型一：基本不等式及其应用 例1．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】 解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，成立的条件为，故错误； 对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于，故，正确. 故选：D 例2．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据基本不等式判断． 【详解】 x，y都是正数， 由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立； 中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立． 故选：D． 例3．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 设，得到，，在直角中，利用勾股定理，求得，结合，即可求解. 【详解】 设，可得圆的半径为， 又由， 在直角中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. 例4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由得的范围可判断A；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B；作差比较与的大小可判断C；作差比较与的大小可判断D. 【详解】 因为，所以，所以，故A错误； 只有在时才成立，故B错误； 因为，所以，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D. （多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】 解：对于A选项，当时，，此时，故A不正确. 对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确. 对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确. 对于D选项，， 当且仅当，即无解，故D不正确. 故选：BC. （多选题）例6．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设，，下列结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】 【分析】 利用基本不等式可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误. 【详解】 对于A选项，， 当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，取，则，B错； 对于C选项，，， 所以，，即，当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，因为，则， 所以，，当且仅当时，两个等号同时成立，D对. 故选