专题03 等式与不等式的性质-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题03等式与不等式的性质 【考点预测】 1.比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 2.不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 【方法技巧与总结】 1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性. 比较法又分为作差比较法和作商比较法. 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论. 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论. 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小. 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法. 【题型归纳目录】 题型一：不等式性质的应用 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 题型四：不等式的综合问题 【典例例题】 题型一：不等式性质的应用 例1．（2022·北京海淀·二模）已知，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 取特殊值即可判断A、C、D选项，因式分解即可判断B选项. 【详解】 对于A，令，显然，错误； 对于B，， 又不能同时成立，故，正确； 对于C，取，则，错误； 对于D，取，则，错误. 故选：B. 例2．（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由不等式的基本性质和特值法即可求解. 【详解】 对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确； 对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误； 对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误； 对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误. 例3．（2022·山西·模拟预测（文））若，则下列结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 对于A，利用不等式的性质判断，对于B，利用基本不等式判断，对于C，利用指数函数的性质判断，对于D，举例判断 【详解】 ∵，∴，∴，故A错误； ∵，∴，∴． ∵，∴，故B正确； ∵，∴．故C错误； 令，此时．故D错误． 故选：B． （多选题）例4．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】 【分析】 利用不等式的性质及特殊值法判断即可． 【详解】 解：对于非零实数，满足，则， 即，故A一定成立； 因为，故B一定成立； 又，即，所以，故C一定成立； 对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立． 故选：ABC （多选题）例5．（2022·重庆八中模拟预测）已知，，且，则下列不等关系成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断. 【详解】 对于A，由 ，   ，当且仅当 时等号成立， ，   ， ， 当且仅当 时等号成立，故A正确； 对于B，由，得 ， 由基本不等式得 ，当且仅当a=b=1时成立；故B正确； 对于C，若 满足， ，故C错误； 对于D，∵，∴ ，由B的结论得   ， ， ，故D正确； 故选：ABD. （多选题）例6．（2022·广东汕头·二模）已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（       ） A．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D． 【答案】BCD 【解析】 【分析】 利用不等式的基本性质求解. 【详解】 解：因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0， 所以， 所以ac（a-c）<0 ，c（b-a）<0，，， 故选：BCD （多选题）例7．（2022·福建三明·模拟预测）设，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据条件可得，的符号不