预测15 二次函数与动点的综合-【临门一脚】2022年中考数学三轮冲刺过关（全国通用)

预测15 二次函数与动点的综合 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 一个动点或两个动点与其它知识的综合运用 二次函数与动点的综合是初中数学的重点内容，也是各地中考考查的一个热点！往往作为大家所说的压轴题，其难度和重要性不言而喻。 1．从考点频率看，一个动点或两个动点与其它知识的综合运用是高频考点。 2．从题型角度看，以解答题形式考查，分值约11分。 1.  “动点型问题”的基本类型。 ① 特殊四边形为背景；  ② 点动带线动得出动三角形；  ③ 探究动三角形的问题（相似、等腰三角形、面积）； ④ 求直线、抛物线的解析式；  ⑤ 探究存在性问题。  2.  “动点型问题”的解决方法。  解决“动点型问题”的关键是动中求静，灵活运用“动中求静”，找到并运用不变的数、不变的量、不变的关系，建立函数关系及综合应用代数、几何知识解决问题。  【要点诠释】  根据题意灵活运用特殊三角形和四边形的相关性质、判定、定理知识确定二次函数关系式，通过二次函数解析式或函数图象判定“动点型问题”涉及的线与线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积，还有存在、最值等问题。 动态几何特点---问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置）。有时还会有2个点沿不同方向，以不同的速度去运动，此类题只要“动中求静”。 1．（2021·辽宁中考真题）如图，已知点，点，直线过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线经过点A、C、D，连接、． （1）求抛物线的表达式；（2）判断的形状，并说明理由； （3）E为直线上方的抛物线上一点，且，求点E的坐标； （4）N为线段上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动到点N，再以每秒个单位长度的速度沿线段运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标． 【答案】（1）；（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，理由见解析；（3）E（，）；（4）运动时间t的最小值为，此时N坐标为（﹣6，） 【分析】（1）由点B坐标求出m值，进而求得点C坐标，利用待定系数法求抛物线的表达式即可； （2）由两点间距离公式求得AC2、AB2、BC2，利用勾股定理的逆定理即可做出判断； （3）由（2）中数据可知∠BCA=∠ECA，延长BA至F，使AF=AB，连接CF，则点E为直线CF与抛物线的交点，求出直线CF的解析式，与抛物线联立方程组，解之即可求得点E坐标； （4）过N作MN⊥AC于M，过F作⊥BC交AC于，连接FN，则FN=BN，求得MN=，由点P运动时间t===，当F、N、M三点共线时，t最小，进一步求解即可解答． 【详解】解：（1）∵直线过点B交y轴于点C， ∴将代入得：﹣4=2×（﹣5）+m，解得：m=6，则C（0，6）， 将A（﹣8，0）、C（0，6）代入， 得：，解得：，∴抛物线的表达式为； （2）△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，理由为：由题意，AB2=（﹣8+5）2+（0+4）2=25， AC2=（﹣8+0）2+（0﹣6）2=100，BC2=（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2=125， ∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°； （3）由（2）知AB=5，AC=10，∴tan∠BCA= =tan∠ECA，∴∠BCA=∠ECA， 延长BA至F，使AF=AB，连接CF，则点B、F关于点A对称，∴F（﹣11，4）， ∵∠BAC=∠FAC=90°，AF=AB，AC=AC，∴△FAC≌△BAC，∴∠BCA=∠FCA， ∴点E为直线CF与抛物线的交点， 设直线CF的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴直线CF的解析式为， 联立方程组，解得：或（舍去）， 故点E坐标为（，）； （4）过N作MN⊥BC于M，过F作⊥BC交AC于，连接FN，则FN=BN， ∵AB=5，BC=，∴sin∠BCA=，∴MN=，又CO=6， ∴点P运动时间t===≥+6， 当F、N、M三点共线时，t最小， ∵AC=10，BC=，∴sin∠ABC= ，∴= ， ∴点P运动时间t的最小值为，由直线BC的表达式y=2x+6得点D坐标为（﹣3，0）， ∵FD=，∴点D与点重合，则点N（即）为直线FD与直线AC的交点， 由点A（﹣8，0）和C（0，6）得直线AC的表达式为， 由点F（﹣11，4）和D（﹣3，0）得直线FD的表达式为， 联立方程组，解得：，∴此时N坐标为（﹣6，）， 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求解函数解析式、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、锐角