秘籍12 二次函数与线段、面积和角度的综合-备战2022年中考数学抢分秘籍

秘籍12 二次函数与线段、面积和角度的综合 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 ①有关线段长度的二次函数。 ②有关几何图形面积的二次函数。 ③有关角度的计算的二次函数。 二次函数是全国中考的热点，也是每年必考的！全国各地的中考数学试题都把二次函数作为压轴题。 1．从考点频率看，周长、角度与二次函数的综合是高频考点。 2．从题型角度看，以解答题形式考查，分值约11分。 常考知识点总结 1. 两点之间距离公式： 2.中点坐标：线段AB的中点C的坐标为: 3.直线的位置关系 （1）两直线平行 （2）两直线相交 （3）两直线重合 （4）两直线垂直 4.三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 5.点到直线的距离公式 例1、（2021·黑龙江）如图，抛物线 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点C，连接 ，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求 的面积． 【答案】（1）解：把点 和点 代入抛物线 可得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）解：由（1）可得抛物线的解析式为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出 ， 再求出 ， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可。 例2、（2021·十堰）已知抛物线 与x轴交于点 和 ，与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连 交抛物线于M，连 、 . （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当 时，求M点的横坐标； （3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作 于D，若 ，求N点的坐标. 【答案】（1）解：将点 和点 代入 得 ，解得： （2）解：点A作 交CM的延长线于点E，过 作 轴于 如下图 轴， 又 即 当 时， 即 即 设直线CE的解析式为 ，并将C、E两点代入得 解得 点M是直线CE与抛物线交点 解得 （不合题意，舍去） 点M的横坐标为 （3）解：设过点M垂直于L的直线交x轴于点H，对称轴交x轴于点Q，M的横坐标为m 则 对称轴 P、Q、N的横坐标为 ，即 当 时， 点D的纵坐标为4 即 ，即 ， 不符合题意，舍去， 当 时， 解得 ， 由题意知 【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到二次函数解析式. （2）过点A作 交CM的延长线于点E，过 作 轴于 利用垂直的定义及余角的性质可证得∠EAF=∠ACO，∠EFA=∠EAC，可推出△AOC∽△EFA，利用相似三角形的性质，可证得对应边成比例；再利用锐角三角函数的定义可得到AE与AC的比值，再利用函数解析式求出点C的坐标，可得到OC，EF，AF的长，由此可求出点E的坐标；利用点C，E的坐标可求出直线CE的函数解析式；将直线CE的解析式和抛物线额解析式联立方程组，求出点M的坐标. （3）设过点M垂直于L的直线交x轴于点H，对称轴交x轴于点Q，M的横坐标为m ，可得到OH，AH的长，利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，即可得到点P，Q，N的横坐标及OQ的长，由此可求出AQ的长；将x=-3代入二次函数解析式，求出y的值，可得到点P的坐标；再用含m的代数式表示出MD的长；再证明△AHM∽△AQN，利用相似三角形的性质，可表示出MN2的长，利用 ，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点N的坐标. 例3、（2021·黄石）抛物线 （ ）与 轴相交于点 ，且抛物线的对称轴为 ， 为对称轴与 轴的交点. （1）求抛物线的解析式； （2）在 轴上方且平行于 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 、 两点，若 是等腰直角三角形，求 的面积； （3）若 是对称轴上一定点， 是抛物线上的动点，求 的最小值（用含 的代数式表示）. 【答案】（1）解：由抛物线 （ ）与 轴相交于点 得到 抛物线的对称轴为 ，即 ，解得 ∴抛物线的方程为 （2）解：过点E作 交AB于点M，过点F作 ，交AB于点N，如下图： ∵ 是等腰直角三角形 ∴ ， 又∵ 轴 ∴ ∴ 为等腰直角三角形 ∴ 设 ，则 ， ∴ 又∵ ∴ 解得 或 当 时， ，符合题意， 当 时， ，不符合题意 综上所述： （3）解：设 ， 在抛物线上，则 将 代入上式，得 当 时， ，∴ 时， 最小，即 最小 = 当 时， ，∴ 时， 最小，即 最小