秘籍11 动点变化引起的探究-备战2022年中考数学抢分秘籍

秘籍11动点变化引起的探究 概率预测 ☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆ 考向预测 ①手拉手模型。 ②半角模型。 ③对角互补模型 类比探究性问题的特点是“图形变化但结构不变”，初中数学常见的结构有平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构。经常以几何三大变换、相似、直角、中点、面积、特殊三角形为载体呈现。通过类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题。 相似三角形模型 8字形模型 8字形 反8字形 A字形模型 A字形 反 A字形 共边反 A字形 一线三等角模型 一线三等角 一线三直角 在探究过程中，一般按照：①对比连续两问的特征，考虑类比的前提条件是否存在；②对比特征应用方式，考虑在“相同”的条件下，能否进行“相同”的组合。③对比结论，先从图上验证上一问的结论或者结合图形以及上一问的结论的组合方式尝试、猜测、验证新结论。 例1、（2021·荆门）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点， ，且 ， . （1）求证： ； （2）若 ， ，用x表示DF的长. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE=90°，AB=BC， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEB+∠FEH=90°. 而∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠FEH. 又∵EF=AE， ∴△ABE≌△EHF. ∴BE=FH，AB=EH， ∴AB=BC=EH，则BC-EC=EH-EC， ∴BE=CH； （2）解：作FP⊥CD于P， 由（1）可知EH=AB， ∴CE=3−x. ∴CH=FH=FP=x， ∴PD=3−x. 【解析】【分析】（1） 由正方形的性质可得∠ABE=90°，AB=BC，利用余角的性质可得∠BAE=∠FEH，根据AAS可证△ABE≌△EHF，可得BE=FH，AB=EH，即得AB=BC=EH，由等式的性质可得BC-EC=EH-EC，即得结论； （2）作FP⊥CD于P，由（1）可知EH=AB，可得CE=3−x，CH=FH=FP=x，PD=3−x，在Rt△DPF中，利用勾股定理求出DF即可. 例2、（2021·十堰）已知等边三角形 ，过A点作 的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接 ，把线段 绕点C逆时针方向旋转 得到 ，连 . （1）如图1，直接写出线段 与 的数量关系； （2）如图2，当点P、B在 同侧且 时，求证：直线 垂直平分线段 ； （3）如图3，若等边三角形 的边长为4，点P、B分别位于直线 异侧，且 的面积等于 ，求线段 的长度. 【答案】（1）证明：∵线段 绕点C逆时针方向旋转 得到 ， ∴CP=CQ，∠PCQ=60°， ∵在等边三角形 中，∠ACB=60°，AC=BC， ∴∠ACP=∠BCQ， ∴ ， ∴ = （2）解：∵ ，CA⊥l， ∴ 是等腰直角三角形， ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形，∠CBQ=90°， ∵在等边三角形 中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°， ∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°， ∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°， ∴∠CBD=180°-75°-60°=45°， ∴PD平分∠CBQ， ∴直线 垂直平分线段 （3）解：过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l， 由（1）小题，可知： ， ∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°， ∵∠ACB=60°，∠CAM=90°， ∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°， ∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4， ∴BE= ， ∴BM=BE÷sin60°=2÷ = ， 设AP=x，则BQ=x，MQ=x- ，QF= MQ×sin60°=( x- )× ， ∵ 的面积等于 ， ∴ AP×QF= ，即： x×( x- )× = ，解得： 或 （不合题意，舍去）， ∴AP= 【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可证得CP=CQ，∠PCQ=60°，利用等边三角形的性质去证明∠ACP=∠BCQ，利用SAS，可证得△ACP≌△BCQ，利用全等三角形的性质可证得结论. （2）利用已知条件易证△ACP是等腰直角三角形，利用全等三角形的性质可证得△BCQ是等腰直角三角形，再利用等边三角形的性质去证明AB=AP，同时可求出∠BAP，∠ABP，∠CBD的度数，由此可证得结论. （3）利用全等三角形的性质可证得AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，再证明∠QMF=∠BAE=60°，同时