第12讲 球体的体积和表面积（核心考点讲与练）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第三册）

第12讲球体的体积和表面积（核心考点讲与练） ( 考点 考向 ) 球 S＝4πR2 V＝πR3 ( 方法 技巧 ) 1.几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径. 2.几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径. ( 能力拓展 ) 题型一：球的体积的有关计算 一、单选题 1．（2021·上海师范大学第二附属中学高二阶段练习）已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（       ） A． B． C． D． 2．（2021·上海·闵行中学高二期中）在三棱锥中，已知平面，，，，，则三棱锥的外接球的体积为（       ）． A． B． C． D． 二、填空题 3．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）一个圆锥形的空杯子上面放一个球形的冰激凌，圆锥底的直径与球的直径均为10，如果冰激凌融化后全部流在杯子中，正好装满杯子不会溢出，则杯子高度为___________. 4．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）已知球的半径为3，则该球的体积为 _________ . 5．（2021·上海·格致中学高二期中）棱长为2的正方体的外接球的表面积为______． 6．（2021·上海大学附属南翔高级中学高二期中）如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高_____________cm. 7．（2021·上海市徐汇中学高二期中）已知球的体积为，则该球的半径为___________. 8．（2021·上海市行知中学高二期中）湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6cm，深为1cm的空穴，则该球的体积是 ___cm3． 9．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二期中）半径为的球的体积是___________. 10．（2021·上海·高二专题练习）两个半径为1的实心铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径是________． 11．（2021·上海市延安中学高二期中）若一个正方体所有顶点都在一个球面上，则该球与正方体的体积之比为________． 12．（2021·上海青浦·高二期末）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”日“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.”意思是∶球的体积V乘以16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时圆周率的近似值大小为___________. 13．（2021·上海市市西中学高二期中）一个底面半径为的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了___________. 题型二：球的表面积有关计算 一、单选题 1．（2021·上海交大附中高二期中）设、，，，那么以为直径的球的表面积为（       ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2021·上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹与正方体从顶点D出发的三个面所围成的几何体的表面积是________. 3．（2021·上海·复旦附中高二期中）已知球和球的体积之比为8∶27，那么球和球的表面积的比值为_________． 4．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二期中）如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为2，则半球的表面积为____________. 5．（2021·上海·闵行中学高二期中）表面积为的球的体积是__________． 6．（2021·上海市市西中学高二期中）一个与球心距离为的平面，截球所得的圆面积为，则这个球的表面积是____________. 7．（2021·上海·闵行中学高二期末）已知球的表面积为，则它的体积为__________. 8．（2021·上海·曹杨二中高二期末）在三棱锥中，、、两两垂直且长度均为6，定长为的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在△内运动（含边界），若线段的中点的轨迹的面积为，则的值为______． 9．（2021·上海·高二期中）表面积为的球的体积为__________. ( 巩固 提升 ) 一、单选题 1．（2019·上海闵行·高二期末）若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（       ）． A． B． C． D． 2．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学