专题09 导数的概念及运算（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第9讲 导数的概念及运算 学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、知识梳理 1.导数的概念 (1)称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x) 在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝. (2)在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作f′(x)(或y′，yx′)，即f′(x)＝y′＝yx′＝，导函数也简称为导数. 2.导数的几何意义 f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，从而在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0). 3.基本初等函数的导数公式 (1)C′＝0；(2)(xα)′＝α·xα－1； (3)(ax)′＝ax·ln a；(4)(logax)′＝； (5)(sin x)′＝cos x；(6)(cos x)′＝－sin x； (7)(ex)′＝ex；(8)(ln x)′＝. 4.导数的运算法则 如果f(x)，g(x)都可导，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)； (4)[Cf(x)]′＝Cf′(x). 5.复合函数的导数 如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为 h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)＝f′(g(x))·g′(x)，即yx′＝yu′·ux′. 2、 考点和典型例题 1、导数的概念及几何意义 【典例1-1】（2022·河北·模拟预测）曲线在处的切线斜率为（       ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】 ，. 故选：B. 【典例1-2】（2022·山东枣庄·三模）曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设，则，直线的斜率为， 由题意可得，解得. 故选：C. 【典例1-3】（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ） A． B． C． D．且 【答案】D 【详解】 作出的图象，由图可知， 若过点可以作曲线的两条切线，点应在曲线外， 设切点为，所以，， 所以切线斜率为， 整理得，即方程在上有两个不同的解， 所以，， 所以且. 故选：D． 【典例1-4】（2022·广西广西·模拟预测（理））曲线在点处的切线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ∵ ∴，所以， 又当时，， 所以在点处的切线方程为：，即. 故选：A. 【典例1-5】（2022·河南洛阳·三模（理））若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由已知，曲线，即令，则， 设切点为，切线方程的斜率为， 所以切线方程为：，将点代入方程得：，整理得， 设函数，过点可作出曲线的三条切线， 可知两个函数图像与有三个不同的交点， 又因为，由，可得或， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极大值为，函数的极小值为， 如图所示， 当时，两个函数图像有三个不同的交点. 故选：C. 2、导数的运算 【典例2-1】（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数的导函数为，且满足，则（       ） A．1 B． C．-1 D． 【答案】C 【详解】 因为，所以， 所以，解得． 故选：. 【典例2-2】（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知实数x满足，，，那么的值为(       ) A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】 由两边同时乘x可得： ， 又， 因此． 由，即，可得， ∴， ∴． 故选：C﹒ 【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若函数，满足且，则（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 取，则有，即，又因为所以，所以，所以. 故选：C 【典例2-4】（2022·江苏盐城·三模）已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________． 【答案】## 【详解】 设函数，则 又    所以在上单调递增，又 故不等式 可化为 由的单调性可得该不等式的解集为． 故答案为： 【典例2-5】（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知，且，，那么___________. 【答案】 【详解】 因为， 所以，， 即，所以，， 因为，则， 所以，，解得，所以，， 因此