第20讲 圆锥曲线的综合问题 讲义-2021-2022学年高三数学二轮复习专题

第20讲 圆锥曲线的综合问题 一、学习目标： 1.掌握设点与设线技巧； 2.会用平面几何知识来简化问题； 3.会用函数思想来处理圆锥曲线中的最值问题. 2、 典例分析 例1．如图，已知抛物线，圆，过点 作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆 相切，A，B为切点. （1）求点A，B的坐标； （2）求的面积. 【答案】（1）由题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为. 所以消去，整理得：. 因为直线与抛物线相切，所以，解得，，即点. 设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点，关于直线对称， 故有，解得.即点. （2）由（1）知，，直线的方程为， 所以点到直线的距离为.所以的面积为. 11．如图，椭圆的离心率为 ， 轴被曲线 截得的线段长等于 的长半轴长． （1）求， 的方程； （2）设与 轴的交点为 M，过坐标原点O的直线与 相交于点 A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E. ①证明：； ②记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线 ,使得= ?请说明理由． 【答案】（1） （2） ①关键证明； ②满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和. 例2．已知椭圆的右焦点为，且经过点. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点. （Ⅰ）椭圆的方程为； （Ⅱ）设，联立得， ，，. 直线，令得，即，同理可得. 因为,所以； ，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点. 变式： 1．已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【答案】（1）椭圆方程为：；（2）直线恒过点． 2．已知抛物线的焦点为，且过的弦长的最小值为4. (1)求的值； (2)如图，经过点且不过原点的直线与抛物线相交于两点，且直线的斜率分别为.问是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标. 【答案】(1)； (2)存在，其坐标为或. 例3．已知的三个顶点在抛物线:上,抛物线的焦点,点为的中点,. （1）若,求点的坐标； （2）求面积的最大值. 【答案】（1） 或, ,,， 解得或, （2）设直线的方程为,, 由 消掉得， , 根据韦达定理了可得:, , 的中点的坐标, , ， , , , 可得 解得；由,可得 ， , 又, 点到直线的距离为, , 记 令解得 在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数, 又 ， 当时,取得最大值,此时, 的面积的最大值为. 变式： 1．如图，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点（在轴上方），连接并延长，交椭圆于点． （1）若轴，求直线的方程； （2）求时的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 2．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为. (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ)动直线l：y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E、F，求EDF的最小值. 【答案】（Ⅰ） .(II) . 课外作业 1．平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M． （i）求证：点M在定直线上; （ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）点在定直线上，的最大值为，此时点的坐标为． 2．设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1) 椭圆方程为； (2) 直线l的斜率的取值范围为. 3．如图，在直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为，点是上的定点，是上的两动点，且线段被直线平分. （1）求的值； （2）求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 4．已知抛物线的焦点为，准线为．直线与抛物线相切于点且与轴交于点，点是点关于点的对称点，直线与抛物线交于另一点，与准线交于点． (1)证明：直线直线； (2)设的面积分别为，若，求点的横坐标的取值范围． (1)，则直线直线；(2)的横坐标的取值范围． 5．