专题01 集合-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题01 集合 【考点预测】 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 说明： ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即． （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 4、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 【方法技巧与总结】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 【题型归纳目录】 题型一：集合的表示：列举法、描述法 题型二：集合元素的三大特征 题型三：集合与集合之间的关系 题型四：集合的交、并、补运算 题型五：集合与排列组合的密切结合 题型六：集合的创新定义 【题型一】集合的表示：列举法、描述法 【典例例题】 例1．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知集合，集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 化简集合A，根据集合B中元素的性质求出集合B. 【详解】 ，， , 故选：C 【方法技巧与总结】 1.列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然. 2.描述法，注意代表元素. 例2．（2022·山东聊城·二模）已知集合，，则集合中元素个数为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】 【分析】 由列举法列出集合的所有元素，即可判断； 【详解】 解：因为，，所以或或或， 故，即集合中含有个元素； 故选：C 例3．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））设集合，，则集合中元素个数为（       ） A． B． C． D．无数个 【答案】B 【解析】 【分析】 先解出集合，再按照对数的运算求出集合，即可求解. 【详解】 由，解得，故，， 故，集合中元素个数为3. 故选：B. 例4．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合的新定义确定集合中的元素. 【详解】 因为，，， 所以， 故集合中的元素个数为3， 故选：C. 例5．（2022·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意写出集合C的元素，可得答案. 【详解】 由题意，当时， ，当，时， ， 当，时， ， 即C中有三个元素， 故选：C 例6．（2022·全国·高三专题练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】 根据条件可得集合