押浙江杭州卷第21题（根据正方形的性质证明线段、根据等腰三角形的性质和判定证明线段三角形的实际应用）-备战2022年中考数学临考题号押题（浙江杭州卷）

押浙江杭州卷第21题 解答题第21题 从近几年中考题型来看，第21题侧重于考察利用几何图形证明线段相等等问题。2021年中考考查根据等腰三角形的性质和判定证明两线段相等，2020年和2019年均利用正方形的性质与判定证明线段。证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础。 1. 与线段相等有关的定理 解题技巧为：解答时联想与线段相等有关的定理，可快速解答几何图形证明线段相等问题。 2. 三角形中 解题技巧为：首先观察待证线段是否存在一个三角形中，若在，可转化为证明它们所对的角相等或应用有关定理得出结论。 3. 不在三角形中 解题技巧为：若待证线段不在一个三角形中，则最基本的思路是运用“全等三角形对应边相等”。其方法是找出包含待证线段的两个三角形(如果不全，可添加辅助线)，证明其全等，从而得出结论。 4. 直接引用定理或基本思路证题有困难时 解题技巧为：当直接引用定理或基本思路证题有困难时，可观察寻找“中间线段”作为“桥梁”，根据等量公理得出结论。 （2021·浙江杭州·中考真题）如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，． （1）求证：． （2）若，求的面积 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据题意证明即可； （2）根据特殊角的锐角三角函数求得BE、EC的长，用三角形面积公式计算即可． 【详解】 解：（1）因为平分， 所以． 所以， 又因为， 所以， 所以． （2）由题意，得，， 所以， 所以的面积为． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的判定，根据特殊角的三角函数求边长，正确记忆特殊角的锐角三角函数值是解题关键． 1．（2022·浙江杭州滨江区·一模）如图，点是正方形对角线上一点，连接．过点作，分别交边于点，连接． (1)求证：． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）连接DE，易证四边形为矩形，即得出．又易证，即得出，从而即可证明； （2）由正方形的性质结合勾股定理可求出，再根据，即可求出．又可判断为等腰直角三角形，即得出，从而可求出，最后再次利用勾股定理即可求出． (1) 如图，连接DE． ∵四边形为正方形， ∴，，， 又∵，即， ∴四边形为矩形， ∴． ∵在和中，， ∴， ∴， ∴； (2) ∵四边形为正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 2．（2022·浙江杭州萧山区·一模）已知：RtABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF＝BC，FG⊥AC交BC于点E．求证：AB＝DE． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 根据DF⊥BC，FG⊥AC，可得，由对顶角相等可得，进而根据等角的余角相等可得，再利用ASA证明，即可得证． 【详解】 证明： DF⊥BC，FG⊥AC， 又∵ 在与中 （ASA） AB＝DE． 【点睛】 本题考查了三角形全等的性质与判定，等角的余角相等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（2022·浙江温州·一模）如图，在四边形ABCD中，，，过点D作于E． (1)求证：． (2)连结AC交DE于点F，若，，求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）作垂足为G，可证四边形BCGE是矩形，从而证明，进而即可得到结论； （2）设，则，利用勾股定理可得，，再证明，进而即可求解． (1) 作垂足为G，则 ∵， ∴ 又∵ ∴四边形BCGE是矩形 ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ (2) ∵， ∴可设，则， 在Rt△DAE中，，， ∴，即，解得 ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，找出相似三角形，是解题的关键． 4．（2022·浙江杭州淳安县·一模）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F． (1)求证：AE＝CE． (2)设，，试求与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)β＋α＝135° 【解析】 【分析】 （1）利用正方形的性质得出边角相等的关系，证明三角形全等就可证得AE＝CE； （2）利用全等三角形的性质和三角形外角的性质进行计算和变形就可求出与之间的数量关系． (1) 证明：在正方形ABCD中， ， 平分， 在和中， ． (2) 解： ， 即． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的性质和判定，掌握以上知识点结