押浙江杭州卷第23题（圆与三角形的综合问题、相似三角形的判定和性质综合、解直角三角形）-备战2022年中考数学临考题号押题（浙江杭州卷）

押浙江杭州卷第23题 解答题第23题 关于圆的综合性问题，往往是杭州中考试题中的压轴题，特别是圆与三角形的综合问题近两年出现频率较高。其考查容涉及到了方程、 三角形全等与相似、特殊四边形性质及其圆的相关知识点， 解决这类问题要求学生必须稳固各方面的数学知识，熟练把握有关推理证明、计算分析、动态变化、分类讨论等多方面的类型题。 1. 有关切线问题 解题技巧为：抓“相切”，连接圆心与切点。 2. 求线段长问题 解题技巧为：若题干中出现三角函数时，一般考虑用三角函数解题；若题于中不含三角函数,一般考虑用相似三角形或勾股定理解题。 3. 证明两线段相等问题 解题技巧为：若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰或等边三角形等角对等边来证明；若所证两线段相连共线，则可以考虑等腰三角形三线合一或直角三角形斜边上的中线等于斜边的半来证明；若所证两线段平行，则可以考虑特殊四边形对边相等来证明。 4. 三角形外接圆 解题技巧为：一般我们会先构造一条直径，然后再根据题目的一些已知条件构造特殊的三角形和边角关系，从而求解。 （2021·浙江杭州·中考真题）如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交边于点，连接． (1)求证：． (2)已知，，求线段的长（用含，的代数式表示）． (3)已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），，求证：． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析 【解析】 【分析】 (1)由题目已知角平分线相等得到两个相等，同弧所对的两个圆周角相等，从而证明两三角形相似； (2)由(1)中的相似可以得到线段成比例，再由即可求得； (3)要证即证，已知条件有一对角相等，利用外角关系可以证明，从而得证． 【详解】 (1)因为平分， 所以， 又因为， 所以． (2)由(1)，知， 因为， 所以， 所以． (3)因为， 又因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以． 【点睛】 本题考查了圆的圆周角概念，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，解题关键是要根据已知条件找到相似的两个三角形并通过角度的转换从而证明相似． 1．（2022·浙江杭州·二模）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点． (1)如图①，求∠ACB的大小； (2)如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小． 【答案】(1)∠ACB＝50° (2)∠EAC＝20° 【解析】 【分析】 （1）连接OA、OB，根据切线性质和∠P=80°，得到∠AOB=100°，根据圆周角定理得到∠C=50°； （2）连接CE，证明∠BCE=∠BAE=40°，根据等腰三角形性质得到∠ABD=∠ADB=70°，由三角形外角性质得到∠EAC=20°． (1) 连接OA、OB，    ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°， 由圆周角定理得，∠ACB＝ ∠AOB＝50°； (2) 连接CE， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°， ∵∠ACB＝50°， ∴∠BCE＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BAE＝∠BCE＝40°， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB＝70°， ∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝20°． 【点睛】 本题考查了圆的切线，圆周角，等腰三角形，三角形外角，熟练掌握圆的切线性质，圆周角定理及推论，等腰三角形的性质，三角形外角性质，是解决问题的关键． 2．（2022·浙江温州·二模）如图，在⊙O的内接△ABC中，AB＝AC，直径AD交BC于点E，连接CD． (1)求证：△ACE∽△CDE． (2)若AE＝BC，AD＝10，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）由AB＝AC可得∠B＝∠ACB，，再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠B＝∠D＝∠ACB，再根据圆周角定理的推论，即可得出结论； （2）根据垂径定理的推论可得BE＝CE，AD⊥BC，故AE＝BC＝2CE，再结合相似三角形的性质，以及勾股定理，即可求解． (1) 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB，， ∴∠ACB＝∠B＝∠D． 又AD是⊙O的直径， ∴， ∴∠BCD＝∠BAD＝∠DAC． ∴△ACE△CDE． (2) 解：∵， ∴∠BAE＝∠EAC， 又∵AB＝AC， ∴BE＝CE，AD⊥BC， ∴AE＝BC＝2CE， ∵△ACE△CDE， ∴． ∴AE＝4DE． ∵AD＝10， ∴AE＝8，DE＝2， ∴BC＝AE＝8，CE＝4， ∴AC＝． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、相似三角形的性质与判定，以及勾股定理． 3．（2022·浙江温州·一模）如图