押浙江杭州卷第22题（二次函数的综合）-备战2022年中考数学临考题号押题（浙江杭州卷）

押浙江杭州卷第22题 解答题第22题 二次函数在浙江杭州中考数学中常常作为重点题出现，大多是二次函数与一次函数、反比例函数等知识的交汇融合,具有一定的综合性和较大的难度。很多考生缺乏思路会感到无从下手，难以拿到分数。事实上，只要理清思路，方法适切，稳步推进，少失分、多得分、得高分是完全可以做到的。 1. 二次函数与方程的综合应用 解题技巧为：解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用有关的性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件。 2. 求解析式 解题技巧为：直接找出坐标或者用线段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。 3. 求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题 解题技巧为：先用点斜式(或称K点法)求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。 4. 动点问题 解题技巧为：要把握好一般与特殊的关系。分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的 性质、图形的特殊位置)。 （2021·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． （1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标． （2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由． （3）已知，当（，是实数，）时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证． 【答案】（1），顶点坐标是；（2），，理由见解析；（3）见解析． 【解析】 【分析】 （1）把点和代入二次函数解析式进行求解，然后把一般式化为顶点式即可求解顶点坐标； （2）根据二次函数的图象与系数的关系可直接进行求解； （3）由题意，得，，则有，进而问题可求解． 【详解】 解：（1）把点和代入得：， 解得， ∴，则化为顶点式为， ∴该函数图象的顶点坐标是； （2）例如，，此时； 因为， 所以函数图象与轴有两个不同的交点； （3）由题意，得，， ∵， ∴ ， 由题意，知， 所以． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 1．（2022·浙江杭州·一模）二次函数（，，是常数，）．当时，函数有最小值． (1)若该函数图象的对称轴为直线，并且经过点，求该函数的表达式． (2)若一次函数的图象经过二次函数图象的顶点． ①求该二次函数图象的顶点坐标． ②若是该二次函数图象上的两点，求证：． 【答案】(1) (2)①顶点坐标为（-1，-1）；②证明见解析 【解析】 【分析】 （1）先确定顶点坐标，再设出该函数的顶点式解析式，将点（0,0）的坐标代入解析式中求出a，即可求解； （2）①将顶点代入，再利用，进行转化后，求出即可求解； ②设函数表达式为，代入两点坐标后得到p和q的表达式，利用作差法比较大小即可． (1) 解：由题意，得函数图象的顶点坐标为， 所以可设函数表达式为， 把代入，解得， 所求函数的表达式为． (2) ①由题意，将顶点代入， 化简，得． 又因为， 所以，．所以， 所以顶点坐标为． ②由①可知，函数顶点坐标为，， 所以可设函数表达式为． 所以． ． 因为函数有最小值，所以， 所以，所以． 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数及其图象、作差法比较大小等，解题的关键是牢记函数的顶点式解析式和顶点坐标公式等． 2．（2022·浙江·淳安县教育发展研究中心一模）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是实数）． (1)当时，若点在该函数图象上，求n的值． (2)小明说二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？ (3)已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 【答案】(1)-7 (2)对，理由见解析 (3)见解析 【解析】 【分析】 （1）把m=2，点A（8，n）代入解析式即可求解； （2）由抛物线解析式，得顶点是，把x＝2m代入，求出y值与3-m比较，若相等则即可判断小明说法正确，否则说法错误； （3）由点P（a+1，c），Q（4m-5+a，c）的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线x==a+2m-2，即可得出a+2m-2=2m，求得a=2，得到P（3，c），代入解析式即可得到 ＝＝，根据二次函数的性质即可证得结论． (1) 解：当m＝2时， ∵A（8，n）在函数图象上， ∴ (2) 解：由题意得，顶点是 当x＝2m时， ∴顶点在直线上 (3) 证明：∵P（a+1,c），Q（4m-5+a，c）都在二次函数的图象上 ∴对称轴是直线 ∴a+2m-2＝2m ， ∴a＝2， ∴P（3，c）， 把P（3，c）代入抛物线解析式，得 ∴＝＝， ∵-2<0， ∴c有最大值为， ∴c≤． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2022·浙江杭州