20 微专题：例析平面向量中的三角形的“四心”问题 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 例析平面向量中的三角形的“四心”问题 班级 姓名 学号 在三角形中，重心、内心、垂心、外心简称“四心”，是三角形中一组特殊的点，它们与向量知识的整合，既自然，又表达形式多样，而且，通过推导与证明，还可以归纳得到许多重要的性质；所以，在近年高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”进行分析问题、解决问题的能力；现就“四心”的几何特征与向量知识的整合，进行分类例析。 三角形中的四“四心”是指三角形的重心、外心、内心、垂心。等边三角形的四心重合，又名：中心。其几何特征分别是： （1）、三角形的重心是三角形三条中线的交点； （2）、三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点（即：三角形外接圆的圆心）； （3）、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点（即：三角形内切圆的圆心）； （4）、三角形的垂心是三角形三条边上的高的交点。 1、重心 重心：三角形三条中线的交点叫重心；它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1； 其向量表达形式为：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时， 有或（其中为平面内任意一点）； 结论1：是△所在平面内一点，点是△的重心。 证明：作图如右，图中， 结论2：是△所在平面内任一点，是△的重心。 证明 （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有。 例1、所在直线一定通过△的________心。 【提示】； 【解析】； 【评注】 例2、已知是平面上的一定点，、、是平面上不共线的三个动点，若动点满足 ，，则点的轨迹一定通过△ 心。 例3、已知、、是坐标平面内不共线的三点，是坐标原点，动点满足 （），则点的轨迹一定经过△的________心。 2、垂心 垂心：三角形三条高线的交点叫垂心；它与顶点的连线垂直于对边。 其向量表达形式为：若是△的垂心，则或 ，反之，若或 ，则是△的垂心． 结论1：是所在平面内任一点，点是△的垂心。 证明： 结论2：是所在平面内任一点，点是△的垂心。 证明： 例4、是△所在平面上一点，若，则是△的（ 　） A．外心　 B．内心　 C．重心　 D．垂心 例5、向量所在直线一定通过△的_____