预测14 二次函数与特殊三角形和特殊四边形的综合-【临门一脚】2022年中考数学三轮冲刺过关（全国通用)

预测14 二次函数与特殊三角形和特殊四边形的综合 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 ①与直角三角形有关的二次函数。 ②与平行四边形有关的二次函数。 二次函数是全国中考的热点，也是每年必考的！全国各地的中考数学试题都把二次函数作为压轴题。 1．从考点频率看，直角三角形和平行四边形与二次函数的综合是高频考点。 2．从题型角度看，以解答题形式考查，分值约11分。 几何要求 几何分析 涉及公式 应用图形 跟平行有的 图形  平移 、 平行四边形 矩形 梯形 跟直角有关的图形  勾股定理逆定理  利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等  直角三角形  直角梯形 矩形 跟线段有关的图形 利用几何中的全等、中垂线的性质等。 等腰三角形 全等 等腰梯形 跟角有关的图形  利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等 几何分析法 ：特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。 特殊图形的存在性问题：已知两点，判断与二次函数有关的特殊三角形的第三个顶点位置时，则可以通过做已知线段的垂线、垂直平分线，结合画辅助线来确定。若判定与二次函数有关的平行四边形问题，可以依据平行四边形的性质，考虑已知顶点坐标的平移，轴对称或中心对称等知识求未知点的坐标。 1．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为． 【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后把点B、D代入求解即可； （2）设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可； （3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有，若使的值为最小，即为最小，则有当点D、M、O三点共线时，的值为最小，然后问题可求解． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形，， ∴，，∴，∴OB=1，∴， 把点B、D坐标代入得：， 解得：，∴抛物线的解析式为； （2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线， ∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称，∴， ∴由两点距离公式可得， 设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分： 1 当时，如图所示： ∴由两点距离公式可得，即，解得：， ∴点F的坐标为或； ②当时，如图所示： ∴由两点距离公式可得，即，解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述：当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或； （3）由题意可得如图所示： 连接OM、DM，由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，，∴，DM=EM， ∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，∴， ∴四边形BOMP是平行四边形，∴OM=BP，∴， 若使的值为最小，即为最小，∴当点D、M、O三点共线时，的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示： ∵，∴， ∴的最小值为，即的最小值为， 设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得：， ∴线段OD的解析式为，∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键． 2．（2021·上海中考真题）已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式；（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标． 【答案】（1）；（2）①1；②点C的坐标是 【分析】(1)将两点分别代入，得,解方程组即可; （2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可. 【详解】解：（1）将两点分别代入，得 解得．所以抛物线的解析式是． （2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，