预测13 二次函数与线段、面积和角度的综合-【临门一脚】2022年中考数学三轮冲刺过关（全国通用)

预测13 二次函数与线段、面积和角度的综合 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 ①有关线段长度的二次函数。 ②有关几何图形面积的二次函数。 ③有关角度的计算的二次函数。 二次函数是全国中考的热点，也是每年必考的！全国各地的中考数学试题都把二次函数作为压轴题。 1．从考点频率看，周长、角度与二次函数的综合是高频考点。 2．从题型角度看，以解答题形式考查，分值约11分。 常考知识点总结 1. 两点之间距离公式： 2.中点坐标：线段AB的中点C的坐标为: 3.直线的位置关系 （1）两直线平行 （2）两直线相交 （3）两直线重合 （4）两直线垂直 4.三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 5.点到直线的距离公式 ①线段问题：求线段长度时，要将线段问题转化为点的坐标问题，根据坐标的特点，求出线段长，或根据题中线段之间的数量关系，列出满足条件的方程求解。②面积问题：若图形是规则图形，直接求即可，若是不规则图形，则可以通过割补法求面积，或过特殊点作x轴的垂线，将所求面积进行分割，再将面积问题转化为线段问题，构建函数模型求面积。 1．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连交抛物线于M，连、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当时，求M点的横坐标； （3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作于D，若，求N点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将点和点代入解析式，即可求解； （2）由想到将放到直角三角形中，即过点A作交CM的延长线于点E，即可知，再由想到过点E作轴，即可得到，故点E的坐标可求，结合点C坐标可求直线CE解析式，点M是直线CE与抛物线交点，联立解析式即可求解； （3）过点M作L的垂线交于点D，故设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标可表示，且MD的长度也可表示，由可得即可结合两点间距离公式表示出MN，最后由即可求解 【详解】解：（1）将点和点代入得 ，解得： （2）点A作交CM的延长线于点E，过作轴于 如下图 轴， 又 即 当时，即即 设直线CE的解析式为，并将C、E两点代入得 解得 点M是直线CE与抛物线交点 解得（不合题意，舍去） 点M的横坐标为 （3）设过点M垂直于L的直线交x轴于点H，对称轴交x轴于点Q，M的横坐标为m 则对称轴 P、Q、N的横坐标为，即 当时， 点D的纵坐标为4 即 ，即， 不符合题意，舍去， 当时， 解得， 由题意知 【点睛】本题考察二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求法和两点间的距离公式，属于综合运用题，难度偏大．解题的关键是由锐角三角函数做出辅助线和设坐标的方程思想． 2．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点（1）求证：∠ACB=90°（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．①求DE+BF的最大值；②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标． 【答案】（1）（2）①9；②或． 【分析】（1）分别计算A，B，C三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长，最后利用勾股定理逆定理解题；（2）①先解出直线BC的解析式，设，接着解出，利用二次函数的配方法求最值；②根据直角三角形斜边的中线性质，解得AG的长，再证明，再分两种情况讨论以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可． 【详解】解：（1）令x=0，得 令得 ， （2）①设直线BC的解析式为：，代入，得 设 即DE+BF的最大值为9； ②点G是AC的中点，在中， 即为等腰三角形， 若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，则① 又 ，或 经检验：不符合题意，舍去， ②，又 整理得，，或， 同理：不合题意，舍去，综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 3.（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．（1）求m的值和直线对应的函数表达式； （2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标； （3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标． 【答案】（1），；（2），，；（3） 【分析】（1）求出A，B的坐标，用待定系数法计算即可；（2）做点A关于BC的平行线，联立直线与抛物线的表达式可求出的坐标，设出直线与y轴的交点为G，将直