专题08 函数模型及其应用（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第8讲 函数模型及其应用 学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、知识梳理 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 　　函数 性质　　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像 的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值 变化而 各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 2、 考点和典型例题 1、利用函数图像刻画实际问题的变化过程 【典例1-1】（2022·四川攀枝花·三模（理））中央经济工作会议将做好“碳达峰、碳中和”工作列为2022年的重点任务之一，要求持续提升能源利用效率，加快能源消费方式转变．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（       ）． A．消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km B．甲车以80km/h的速度行驶1h，消耗约10L汽油 C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 D．某城市机动车最高限速80km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 【详解】 对于A：当乙车速度大于时，乙车车每消耗1L汽油行驶的里程都超过了，所以A错误； 对于B：甲车以80km/h的速度行驶时，燃油效率为，则行驶1h消耗约8L汽油，所以B错误； 对于C：以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中，甲车消耗汽油最少，所以C错误； 对于D：机动车最高限速80km/h相同条件下，丙车比乙车燃油效率高，故更省油，所以D正确. 故选：D. 【典例1-2】（2021·陕西·榆林市第十中学高二阶段练习（文））2020年春季，新冠肺炎疫情在全球范围内相继爆发，因为政治制度、文化背景等因素的不同，各个国家疫情防控的效果具有明显差异、如图是西方某国在60天内感染新冠肺炎的累计病例人数y（万人）与时间t（天）的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 根据散点图，可以看出，散点大致分布在一条“指数型”函数曲线附近， 选项A对应的“直线型”的拟合函数； 选项B对应的“幂函数型”的拟合函数； 选项D对应的“对数型”的拟合函数； 故选：C. 【典例1-3】（2022·河南郑州·高二阶段练习（文））如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法： ①浮萍每月的增长率为1； ②第5个月时，浮萍面积就会超过； ③浮萍每月增加的面积都相等； ④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则，其中正确的说法是（       ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】 因为图像过，所以由，所以，故原题中函数关系为 对于①：，所以每个月的增长率为1，故①正确； 对于②：当时，，故②正确； 对于③：第二个月比第一个月增加 第三个月比第二个月增加，故③错误； 对于④：由题，所以，所以，故④正确； 故选：C 【典例1-4】（2022·新疆吐鲁番·高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间t（单位：月）的关系为，关于下列说法不正确的是（       ） A．浮萍每月的增长率为2 B．浮萍每月增加的面积都相等 C．第4个月时，浮萍面积超过 D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，、，则 【答案】B 【详解】 解：图象可知，函数过点， ， 函数解析式为， 浮萍每月的增长率为，故选项A正确， 函数是指数函数，是曲线型函数，浮萍每月增加的面积不相等，故选项B错误， 当时，，故选项C正确， 对于D选项，，，，， 又，，故选项D正确， 故选：B． 2、已知函数模型解决实际问题 【典例2-1】（2022·重庆南开中学模拟预测）浮萍是我国南方常见的一种水生植物，生长速度非常快．最快每30个小时浮萍铺在水面的面积就可以扩大为原来的2倍．李大爷承包了一块面积为3亩（1亩≈666.7