专题1.3《计数原理》（精讲篇）--【备战期末】《2021-2022学年高二下期末数学复习提升讲练》（新高考·2019版新教材）

专题1.3《计数原理》（精讲篇） 一. 分类加法计数原理 1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念 一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法. 二. 分步乘法计数原理 1．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念 一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法. 2. 两个原理的区别： （1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的. （2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事. 3.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件. 三. 排列 1. 排列的相关概念及排列数公式 (1)排列的定义：从个不同元素中取出 ()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示． (3)排列数公式：这里并且 (4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定. 四.组合 组合的相关概念及组合数公式 (1)组合的定义：从个不同元素中取出 ()个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示．(3)组合数的计算公式：，由于，所以. (4)组合数的性质：①；②；③. 五. 二项式定理 1. 二项式定理 ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为. (3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到. (4)二项式的系数从，，一直到，. 六. 二项式系数的性质 1. 二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，. (2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的． 当是偶数时，中间的一项取得最大值． 当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和 的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即， 2.注意:（1）．分清是第项，而不是第项. (2)．在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解. (3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系. (4) 在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数． 七. 二项式定理的应用 二项式的应用 （1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式； （3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题； （4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①；②； （5）证明不等式. 一、命题规律 （1）考查两个计数原理； （2）考查排列组合问题、概率计算中两个计数原理的应用． （3）两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又能独立地解决一些简单的计数问题，通常与排列组合问题或概率计算问题综合考查．与传统文化的结合较为新颖. （4）考查二项式定理； （5）考查通项公式的应用； （6）考查二项式系数的性质. （7）热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n，求参数的值等. 二、真题展示 1．（2021·江苏·高考真题）已知的展开式中的系数为40，则等于（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2