专题07 函数与方程（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第7讲 函数与方程 学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、知识梳理 1.函数的零点 (1)概念：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图像与x轴的交点、对应方程的根的关系： 2.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)·f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0. 2、 考点和典型例题 1、函数零点所在区间的判断 【典例1-1】（2022·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 函数 是上的连续增函数, , 可得, 所以函数 的零点所在的区间是. 故选：C 【典例1-2】（2021·山西·太原五中高三阶段练习（文））利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：设， 当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点， 即方程在区间上有解， 又（2），（3）， 故（2）（3）， 故方程在区间上有解， 即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是. 故选：C． 【典例1-3】（2019·全国·高三专题练习）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表： 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（       ）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【详解】 根据二分法，结合表中数据， 由于 所以方程的一个近似根所在区间为 所以符合条件的解为1.4 故选:C. 【典例1-4】（2022·天津·静海一中高三阶段练习）已知函数是周期为的周期函数，且当时时，，则函数的零点个数是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 零点个数就是图象交点个数， 作出图象，如图： 由图可得有个交点， 故有个零点． 故选：B ． 【典例1-5】（2022·河南河南·三模（理））函数的所有零点之和为（       ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】 令，得， 图象关于对称，在上递减. ，令， 所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称， ，在上递增， 所以与有两个交点， 两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为. 故选：B 2、图像零点个数的判定 【典例2-1】（2022·北京·模拟预测）已知函数，且，则的零点个数为（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】 由 可得或，又，则，或，或 则的零点个数为3 故选：C 【典例2-2】（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））已知函数，则函数的零点个数为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】 令， 当时，且递增，此时， 当时，且递减，此时， 当时，且递增，此时， 当时，且递增，此时， 所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示： 由图知：与有两个交点，横坐标、： 当，即时，在、、上各有一个解；当，即时，在有一个解. 综上，的零点共有4个. 故选：B 【典例2-3】（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）函数．若在内恰有一个零点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：当时，函数为常函数，没有零点，不满足题意， 所以为一次函数， 因为在内恰有一个零点， 所以，即，解得或. 故的取值范围是. 故选：C 【典例2-4】（2022·湖南衡阳·二模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（       ） A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个 【答案】D 【详解】 因为，所以的周期为2， 又因为为奇函数，， 令，得，又，所以， 当时，， 由单调递减得函数在上单调递增， 所以，得， 作出函数图象如图所示， 由图象可知当过点时，，此时在上只有3个零点. 当经过点时，，此时有5个零点. 当时，有4个零点. 当经过点时，，此时有5个零点. 当时，有4个零点. 当经过点时，，此时在上只有3个零点. 当时，有4个零点. 所以当时，函数在上有4个或5个零点. 故选：D 【典例2-5】（2022·宁夏银川·一模（理））设函数，已知在上单调递增，则在上的零点最多有（       ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】 由，，得，， 取，可得.若在上单词递增，则， 解得.若，则. 设，则，因为