6.4.2 第2课时 平面与平面平行的判定-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(北师大)

第2课时　平面与平面平行的判定 学 习 目 标 核 心 素 养 1.通过具体实例，归纳出平面和平面平行的判定定理. (重点、难点) 2．掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．(重点、难点) 1.通过对平面和平面平行判定定理的归纳及发现，培养学生数学抽象素养． 2．借助于平面和平面平行的判定定理应用，培养学生逻辑推理素养. 平面与平面平行的判定定理 　　表示 定理　　 图形 文字 符号 平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥βα∥β 思考：1.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？ 提示：不一定．这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内． 2．如果删去平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线” ，则平面α和β平行吗？ 提示：不一定．两个平面可能平行，也可能相交． 1．下列命题中正确的是(　　) A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行 D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 B　[如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，故选B．] 2．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是(　　) A．平面α内有一条直线与平面β平行 B．平面α内有两条直线与平面β平行 C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行 D．平面α与平面β不相交 D　[选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D．] 3．给出下列命题： ①任意三点确定一个平面； ②三条平行直线最多可以确定三个平面； ③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行； ④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； 其中说法正确的有________(填序号)． ②③　[对①：根据基本事实1可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误； 对②：三条平行线，可以确定平面的个数为1个或者3个，故正确； 对③：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确； 对④：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误． 综上所述，正确的有②③.] 平面和平面平行的证明 【例1】　如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD．E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P平面ABCD．求证：平面PAB∥平面EFG. [证明]　∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD， 又∵CD∥AB，∴EF∥AB． 又EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB． 同理可证EG∥平面PAB． 又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG. 1要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面. 2判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线. 1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD． [证明]　如图所示，连接B1D1， ∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点， ∴PN∥B1D1. 又B1D1∥BD， ∴PN∥BD，又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD， ∴PN∥平面A1BD， 同理可得MN∥平面A1BD， 又∵MN∩PN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD． 平行关系的综合应用 【例2】　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点． (1)求证：PQ∥平面DCC1D1； (2)求证：EF∥平面BB1D1D． [证明]　(1)如图，连接AC，CD1. 因为ABCD是正方形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点， 所以PQ∥CD1. 又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1. (2)法一：取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1∥B1C1且FO1＝B1C1. 又BE∥B1C1且BE＝B1C1，所以BE∥FO1，BE＝FO1. 所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EF∥BO1， 又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D，所