专题1.2《一元函数的导数及其应用》（精讲篇）--【备战期末】《2021-2022学年高二下期末数学复习提升讲练》（新高考·2019版新教材）

专题1.2《一元函数的导数及其应用》（精讲篇） （一）导数的概念 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即. 2．函数f(x)的导函数 称函数为f(x)的导函数． （二）基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 2．导数的运算法则 （1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； （2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （3）(g(x)≠0)． (4) 复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． （三）函数在处的导数几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． （四）利用导数研究函数的单调性 在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0. 在上为增函数． 在上为减函数． （五）函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． （六）函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． （七）技能技巧 1. 构造函数 (1)构造函数xf(x)，：当条件中含“＋”时优先考虑xf(x)；当条件中含“－”时优先考虑. (2)构造函数：条件中含“xf′(x)－nf(x)”的形式； 构造函数xf(nx)：条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式． (3)构造函数：条件中含“f′(x)－f(x)”的形式． (4)构造函数：条件中含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式． 2.极值点偏移问题 （1）对于函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点x0，方程f(x)＝0的解为x1，x2且a<x1<x2<b，若≠x0.则称函数y＝f(x)在区间(a，b)上极值点偏移． （2）极值点偏移问题的解法 ①(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2>x型，构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式． ②(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 一、命题规律 （1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； （2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性． （3）导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势； （4）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现； （5）单独考查导数的运算题目极少.对导数的运算的考查，主要通过考查导数的几何意义、导数的应用来体现.对导数的几何意义的考查，主要有选择题、填空题，也有作为解答题的第一问.常见的