专题05 指对幂函数及其应用（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第5讲 指对幂函数及其应用 学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、知识梳理 指数和指数函数 1.根式的概念及性质 (1)概念：称为根式，n称为根指数，a称为被开方数. (2)性质：()n＝a；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|. 2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质：asat＝as＋t，(as)t＝as__t，(ab)s＝asbs，其中a>0，b>0，s，t∈R. 4.指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. (2)指数函数的图像与性质 a>1 0<a<1 图像 性质 定义域 定义域为R 值域 值域为(0，＋∞)，即对任何实数，都有ax>0 过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图像关于y轴对称 对数和对数函数 1.对数的概念 在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 ①loga(MN)＝logaM＋logaN， ②logaMα＝αlogaM， ③loga＝logaM－logaN. 其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R. (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. (2)对数函数的图像与性质 a>1 0<a<1 图像 性质 定义域 定义域为(0，＋∞)，图像在y轴的右边 值域 值域为R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0， 当x>1时，y<0 单调性 增函数 减函数 对称性 y＝logax与y＝logx的图像关于x轴对称 4.指数函数与对数函数的关系 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称. 幂函数和二次函数 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数. (2)常见的五种幂函数的图像 (3)幂函数的性质 ①所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1，1). ②如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数. ③如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内；当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图像和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图像 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 2、 考点和典型例题 1、指数和指数函数 【典例1-1】（2020·黑龙江·东宁市第一中学高二阶段练习）关于函数的结论正确的是（       ） A．值域是 B．单调增区间是 C．值域是 D．单调减区间是 【答案】AB 【详解】 令， 则， 又为增函数， 所以，所以函数的值域为，故A正确，C错误； 因为在上单调递增，为增函数， 所以函数的单调增区间是， 故选：AB 【典例1-2】（2021