专题04 函数及其性质（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第4讲 函数及其性质 学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、知识梳理 基本概念 1.函数的概念 概念 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A 三要素对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 自变量取值的范围 值域 所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A} 2.同一个函数 (1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 单调性与最值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D 如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数 如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数 图像 描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I具有单调性，区间I称为函数y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点. 奇偶性、周期性 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图像特点 偶函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2、 考点和典型例题 1、函数的概念 【典例1-1】（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（理））已知是定义在R上的奇函数，且时，，则（       ） A．27 B．－27 C．54 D．－54 【答案】A 【详解】 由已知可得，，因此，． 故选:A． 【典例1-2】（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））若函数则（       ） A．10 B．9 C．12 D．11． 【答案】A 【详解】 当时，， 所以． 故选：A. 【典例1-3】（2022·北京·模拟预测）函数的定义域是_______． 【答案】 【详解】 由题意可得，，解之得 则函数的定义域是 故答案为： 【典例1-4】（2022·浙江·模拟预测）已知，则___________. 【答案】11 【详解】 由于， 从而. 故答案为：11. 【典例1-5】（2022·浙江温州·三模）已知函数 若，则实数a的值等于___________. 【答案】 【详解】 ①当即时，，则（舍） ②当即时， Ⅰ：当,即 时,有 Ⅱ:当 时，即 时，有 无解 综上，. 故答案为： 2、单调性及其应用 【典例2-1】（2022·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由为奇函数且在上递增， A、B：、非奇非偶函数，排除； C：为奇函数，但在上不单调，排除； D：，显然且定义域关于原点对称，在上递增，满足. 故选：D 【典例2-2】（2022·贵州遵义·三模（文））若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由是奇函数在单调递增，且可知：当