微专题2 与指数函数、对数函数有关的复合函数（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

微专题2　与指数函数、对数函数有关的复合函数 与指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的常见函数． 一、判断复合函数的单调性 例1　(1)函数f(x)＝的单调递增区间为________． 答案　(－∞，1) 解析　令t＝x2－2x－1， 所以函数t＝x2－2x－1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 又y＝t是R上的减函数， 故f(x)＝在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)已知函数f(x)＝loga(a－ax)(a>1)，判断并证明f(x)的单调性． 解　f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下： 由f(x)＝loga(a－ax)(a>1)， 得a－ax>0，即x<1. 所以f(x)的定义域为(－∞，1)． 任取1>x1>x2，因为a>1， 所以， 所以0<a－<a－， 所以loga(a－)<loga(a－)， 即f(x1)<f(x2)， 故f(x)在(－∞，1)上为减函数． 反思感悟　形如y＝logaf(x)的函数单调性的判断：首先要求定义域D，当a>1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性(在定义域D内)保持一致，当0<a<1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性(在定义域D内)相反． 二、已知复合函数单调性求参数范围 例2　已知函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围． 解　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上是减函数， ∵0<<1，∴y＝g(x)是关于g(x)的减函数．而已知复合函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数， ∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立， 即 ∴2≤a≤2(＋1)， 故实数a的取值范围是[2，2＋2]． 三、求复合函数的值域 例3　求下列函数的值域： (1)y＝； (2)f(x)＝log2·log2(1≤x≤4)． 解　(1)∵1－x2≤1， ∴≤21＝2， ∴0<y≤2， 故y＝的值域为(0,2]． (2)∵f(x)＝log2·log2＝(log2x－2)·(log2x－1) ＝2－， 又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2， ∴当log2x＝，即x＝＝2时，f(x)取最小值－； 当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值2， ∴函数f(x)的值域是. 四、求复合函数的最值 例4　求函数y＝(x)2－x＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值． 解　因为2≤x≤4， 所以2≥x≥4， 即－1≥x≥－2. 设t＝x，则－2≤t≤－1. 所以y＝t2－t＋5，其图像的对称轴为直线t＝， 所以当t＝－2时，函数在区间[2,4]上的最大值为10； 当t＝－1时，函数在区间[2,4]上的最小值为. 五、与复合函数有关的不等式问题 例5　已知x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，求实数m的取值范围． 解　原不等式变形为m2－m<x， 因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数． 所以x≥－1＝2， 当x∈(－∞，－1]时，m2－m<x恒成立等价于m2－m<2， 结合f(m)＝m2－m－2的图像解得－1<m<2. 故实数m的取值范围为(－1,2)． 六、判断复合函数的奇偶性 例6　已知函数f(x)＝lg(－x)，判断f(x)的奇偶性． 解　因为|x|≥x，所以>＝|x|≥x， 所以－x>0， 所以f(x)的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＋f(x)＝lg(＋x)＋lg(－x) ＝lg[(＋x)(－x)] ＝lg(1＋x2－x2) ＝lg 1＝0， 所以f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数． 学科网（北京）股份有限公司 $