微专题1 换底公式（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

微专题1　换底公式 换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，常将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式． 一、换底公式的正用 例1　(1)log29×log34等于(　　) A. B. C．2 D．4 答案　D 解析　log29×log34＝×＝×＝4. (2)已知a＝log152，b＝log35，则log12518＝________. 答案　 解析　因为a＝log152＝＝＝， 所以log32＝a(b＋1)＝ab＋a， 所以log12518＝＝ ＝＝. 二、换底公式的逆用 例2　计算：＝________. 答案　－ 解析　原式＝× ＝log2×log274＝× ＝×＝－. 三、换底公式的基本变形一：logab＝ 例3　已知2a＝5b＝10，求＋的值． 解　∵2a＝10，∴a＝log210， ∴＝＝lg 2， ∵5b＝10，∴b＝log510， ∴＝＝lg 5. ∴＋＝lg 2＋lg 5＝1. 四、换底公式的基本变形二：＝logab 例4　已知log1627＝a，则log916＝________. 答案　 解析　∵log1627＝a，∴＝a， ∴log23＝a，∴log23＝a， ∴log916＝＝log32＝2log32＝2· ＝2×＝. 五、解对数方程 例5　若logablogbclogc3＝2，则a的值为________． 答案　 解析　∵logab·logbc·logc3＝·· ＝＝2. ∴lg 3＝2lg a＝lg a2， ∴a2＝3，解得a＝或a＝－(舍去)． 六、证明对数恒等式 例6　证明：(ab)lg a＋lg b＝alg a·blg b·a2lg b. 证明　左边＝alg a＋lg b·blg a＋lg b ＝alg a·alg b·blg a·blg b， 又blg a＝. 所以左边＝alg a·blg b·blg a·alg b ＝alg a·blg b·alg b·alg b ＝alg a·blg b·a2lg b＝右边． 即原等式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $