第四章 章末复习课（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

章末复习课 一、指数、对数运算 1．指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算法则以及换底公式等，会利用运算法则进行化简、计算、证明等． 2．掌握基本运算法则，重点提升数学运算素养． 例1　化简：(1) (2)2log32－log3＋log38－ 解　(1)原式＝ ＝ (2)原式＝log34－log3＋log38－ ＝log3－ ＝log39－9＝2－9＝－7. 反思感悟　指数、对数的运算应遵循的原则 (1)指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式，则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的． (2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算法则，其次对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． 跟踪训练1　(1)计算：80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327)的值为________． 答案　111 解析　∵log32×log2(log327)＝log32×log23 ＝×＝1， ∴原式＝＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111. (2)已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为________． 答案　3 解析　由2x＝3，log4＝y得x＝log23， y＝log4＝log2， 所以x＋2y＝log23＋log2＝log28＝3. 二、函数图像的应用 1．指数函数、对数函数的图像及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图像，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图像的交点个数问题． 2．掌握指数函数、对数函数图像的作法以及简单的图像平移、翻折等变换，提升直观想象和逻辑推理素养． 例2　(1)已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图像是(　　) 答案　C 解析　函数y＝log2x的反函数为y＝2x，故f(x)＝2x，于是f(1－x)＝21－x＝x－1，此函数在R上为减函数，其图像过点(0,2)，所以选项C中的图像符合要求． (2)当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(1,2] D. 答案　C 解析　如图所示，设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立， 只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可， 当0<a<1时显然不成立． 当a>1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2.∴loga2≥1，∴1<a≤2. 反思感悟　指数函数、对数函数图像既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图像，并会进行平移、对称、翻折等变换． 跟踪训练2　(1)若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是(　　) 答案　B 解析　由题意得y＝logax(a>0且a≠1)的图像过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝x，显然图像错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图像可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图像不符；选项D中，y＝log3(－x)的图像与y＝log3x的图像关于y轴对称，显然不符． (2)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图像如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 答案　A 解析　由图像知，函数为增函数，所以a>1. 又当x＝0时，－1<logab<0，故<b<1， 所以0<<b<1. 三、比较大小 1．比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较． 2．掌握指数函数、对数函数和幂函数的图像和单调性，对于不同的底数，注意分类讨论，提升直观想象和逻辑推理素养． 例3　(1)已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a (2)设则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)∵a＝log20.3<log21＝0，b＝20.3>20＝1,0<c＝0.30.2<0.30＝1，∴b>c>a. (2)∵∴