4.6 函数的应用(二)（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

§4.6　函数的应用(二) 学习目标　1.掌握幂函数、指数函数、对数函数模型的应用.2.能够选择合适的数学模型分析解决实际问题． 一、指数型函数模型 例1　某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%. (1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域； (2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米． 解　(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)． 经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2. ∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x. ∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.函数的定义域为x∈N＋. (2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图像见下图． x 0 1 2 3 … y 200 210 220.5 231.5 … 作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图像交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值． ∵8<x0<9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)，即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米． 反思感悟　在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 跟踪训练1　(1)设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为________ kPa. 答案　81 解析　将(1 000,90)代入y＝100eax，可得a＝， y与x的函数关系可近似表示为y＝100， 当x＝2 000时，y＝100(eln 0.9)2＝81. (2)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 答案　24 解析　由题意得解得 所以当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb ＝3×192＝24. 二、对数型函数模型 例2　声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)． (1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级； (2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？ (3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？ 解　(1)当I＝10－6W/m2时， 代入得Y＝10lg ＝10 lg 106＝60， 即声强级为60分贝． (2)当Y＝0时，即10lg ＝0， 所以＝1，I＝10－12 W/m2， 则能听到的最低声强为10－12 W/m2. (3)当声强I＝5×10－7W/m2时， 声强级Y＝10lg＝10lg(5×105) ＝50＋10lg 5>50， 所以这两位同学会影响其他同学休息． 反思感悟　(1)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义． (2)对数型函数模型的一般表达式为f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1)． 跟踪训练2　我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量． (1)当燕子静止时，它的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 解　(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中公式，可得0＝5log2，解得O＝10. 所以燕子静止时耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量O＝80代入题中公式， 得v＝5log2＝5log28＝15(m/s)． 当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. 三、建立拟合函数模型解决实际问题 例3　某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金