4.5 增长速度的比较（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

§4.5　增长速度的比较 学习目标　1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解线性增长、爆炸式增长、对数增长等增长含义． 知识点一　函数的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：＝. (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． (4)平均变化率的几何意义： 设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点， 函数y＝f(x)的平均变化率＝＝ 为割线AB的斜率，如图所示． 提醒　Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． 知识点二　三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图像的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于“平缓” 随x的增大匀速上升 增长速度 y＝ax的增长速度快于y＝kx，y＝kx的增长速度快于y＝logax 增长后果 必存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 1．函数y＝x3比y＝2x增长的速度更快些．(　×　) 2．函数y＝衰减的速度越来越慢．(　√　) 3．能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，称为指数型的函数模型，也常称为“爆炸型”函数．(　√　) 4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>2x(a>1)．(　×　) 一、平均变化率的比较 例1　(1)在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中，平均变化率最大的是(　　) A．④ B．③ C．② D．① (2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速率分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________． 答案　(1)B　(2)v3>v2>v1 解析　(1)Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.所以k3>k2>k1>k4. (2)v1＝＝kOA， v2＝＝kAB， v3＝＝kBC， 又因为kBC>kAB>kOA，所以v3>v2>v1. 反思感悟　求平均变化率的主要步骤 (1)求Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)求Δx＝x2－x1. (3)求平均变化率＝. 跟踪训练1　(1)函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　) A．k1<k2 B．k1>k2 C．k1＝k2 D．无法确定 答案　D 解析　k1＝＝2x0＋Δx， k2＝＝2x0－Δx， 又Δx可正可负且不为零， 所以k1，k2的大小关系不确定． (2)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．(填序号) ①在0到t0范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率； ②在0到t0范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率； ③在t0到t1范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率； ④在t0到t1范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率． 答案　③ 解析　由图像知，0～t0范围：v甲＝v乙＝； t0～t1范围：v甲＝，v乙＝. 因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0， 所以v甲>v乙．所以③正确． 二、几类函数模型增长差异的比较 例2　f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 答案　B 解析　由函数性质可知，在区间(4，＋∞)上，指数函数g(x)＝2x增长最快，对数函数h(x)＝log2x增长最慢，所以g(x)>f(x)>h(x)． 反思感悟　常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变