4.4 幂函数（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

§4.4　幂函数 学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y＝xα的图像与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题． 知识点一　幂函数的概念 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 提醒　幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量． 知识点二　幂函数的图像和性质 1．幂函数的图像 在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图像如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在R上是增函数 在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数 在R上是增函数 在[0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数 公共点 (1,1) 1．y＝－是幂函数．(　×　) 2．当x∈(0,1)时，x2>x3.(　√　) 3．y＝与y＝定义域相同．(　×　) 4．若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.(　√　) 一、幂函数的概念 例1　(1)(多选)下列函数为幂函数的是(　　) A．y＝x3 B．y＝x C．y＝4x2 D．y＝x 答案　AD 解析　B项为指数函数，C中的函数的系数不为1，AD为幂函数． (2)已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，则m＝______，n＝________. 答案　－3或1　 解析　由题意得 解得或 所以m＝－3或1，n＝. 反思感悟　判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 跟踪训练1　(1)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于(　　) A．2 B．1 C. D．0 答案　A 解析　因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数， 所以a＝1，－b＋1＝0， 即a＝1，b＝1，则a＋b＝2. (2)若函数f(x)是幂函数，且满足 ＝3，则f 的值为(　　) A．－3 B．－ C．3 D. 答案　D 解析　设f(x)＝xα(α为常数)， 因为 ＝3，所以＝2α＝3，即α＝log23， 所以f(x)＝，则f ＝＝. 二、幂函数的图像 例2　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为(　　) A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．2，，－2，－ 答案　B 解析　根据幂函数y＝xn的性质， 故c1的n＝2，c2的n＝， 当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭， 所以曲线c3的n＝－，曲线c4的n＝－2. (2)函数y＝的图像大致是图中的(　　) 答案　B 解析　∵函数y＝是奇函数，且α＝>1， 反思感悟　解决幂函数图像问题应把握的两个原则 (1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝ x－1 或y＝或y＝x3)来判断． 跟踪训练2　(1)下图给出四个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是(　　) A．①y＝，②y＝x2，③y＝，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x－1，④y＝ D．①y＝，②y＝，③y＝x2，④y＝x－1 答案　B 解析　②的图像关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D，①由图像知，在第一象限内，图像下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A. (2)函数f(x)＝的大致图像是(　　) 答案　A 解析　因为－<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B，C；又f(x)的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D. 三、比较幂值的大小 例3　比较下列各组数中两个数的大小： (1)0.5与0.5； (2)－1与－1； (3)与. 解　(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又>，∴0.5>0.5. (2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－<－，∴－1>－1. (3)∵函数y1＝x为R上的减函数， 又>，∴>. 又∵函数y2＝在(0，＋∞)上是增函数，且>， ∴>