4.3 指数函数与对数函数的关系（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

§4.3　指数函数与对数函数的关系 学习目标　1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图像间的对称关系.2.会求简单函数的反函数.3.利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题． 知识点　指数函数与对数函数的关系 1．反函数 (1)反函数的概念 一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数． (2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)． (3)反函数的性质 ①y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同，y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称． ②如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在，此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是减函数． 2．指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数． (2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像关于y＝x对称． 1．函数y＝x的反函数是y＝logx.(　×　) 2．函数y＝log3x的反函数的值域为R.(　×　) 3．函数y＝ex的图像与y＝lg x的图像关于直线y＝x对称．(　×　) 4．互为反函数的两个函数图像关于直线y＝x对称．(　√　) 一、求简单函数的反函数 例1　求下列函数的反函数： (1)y＝log2x； (2)y＝x； (3)y＝5x＋1. 解　(1)由y＝log2x，得x＝2y，y∈R， ∴f－1(x)＝2x，x∈R. (2)由y＝x，得x＝y且y>0， ∴f－1(x)＝x(x>0)． (3)由y＝5x＋1，得x＝且y∈R， ∴f－1(x)＝，x∈R. 反思感悟　求反函数的一般步骤 跟踪训练1　求下列函数的反函数： (1)y＝＋1(x≥0)； (2)y＝(x≠1)． 解　(1)∵y＝＋1，x≥0， ∴y≥1且x＝(y－1)2. ∴y＝＋1(x≥0)的反函数为y＝(x－1)2，x∈[1，＋∞)． (2)∵y＝＝，∴y＝2＋. ∴y≠2且x＝. ∴y＝(x≠1)的反函数为y＝，x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)． 二、互为反函数的函数图像间的关系及性质 例2　(1)若函数y＝f(x)的图像位于第一、二象限，则它的反函数y＝f－1(x)的图像位于(　　) A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第二、三象限 D．第一、四象限 答案　D 解析　结合函数与反函数关于y＝x对称， 即可得出反函数位于第一、四象限． (2)已知函数f(x)＝ax－k的图像过点(1,3)，其反函数y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，则f(x)的表达式为________． 答案　f(x)＝2x＋1 解析　∵y＝f－1(x)的图像过点(2,0)， ∴y＝f(x)的图像过点(0,2)， ∴2＝a0－k，∴k＝－1， ∴f(x)＝ax＋1. 又∵y＝f(x)的图像过点(1,3)， ∴3＝a1＋1， ∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1. 反思感悟　互为反函数的函数图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数图像上任一成对的相应点也关于直线y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图像上． 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4,0)，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝4x＋3 B．f(x)＝3x＋4 C．f(x)＝5x＋2 D．f(x)＝2x＋5 (2)若函数y＝的图像关于直线y＝x对称，则a的值为________． 答案　(1)A　(2)－1 解析　(1)∵f(x)的反函数图像过点(4,0)， ∴f(x)的图像过点(0,4)， 又f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)， ∴联立方程组 ∴a＝4且b＝3，故f(x)＝4x＋3. (2)由y＝可得x＝， 则原函数的反函数是y＝， ∴＝，得a＝－1. 三、指数、对数函数图像与性质的应用 例3　已知x1是方程x＋lg x＝3的一个根，x2是方程x＋10x＝3的一个根，则x1＋x2的值是(　　) A．6 B．3 C．2 D．1 答案　B 解析　将已知的两个方程变形得 lg x＝3－x,10x＝3－x. 令f(x)＝lg x，g(x)＝10x，h(x)＝3－x. 在同一平面直角坐标系内作出三个函数的大致图像如图所示． 记f(x)与h(x)的交点为A(x1，y1)，g(x)与h(x)的交点为B(x2