4.2.1 对数运算（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

§4.2　对数与对数函数 4．2.1　对数运算 学习目标　1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.理解对数的底数和真数的取值范围.3.掌握对数的基本性质及对数恒等式． 知识点一　对数的概念 对数的概念：在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数． 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，log10N可简写为lg_N. 自然对数：以无理数e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，logeN简写为ln_N. 知识点二　对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系： 若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x. 对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0且a≠1)． 知识点三　对数的性质 1．1的对数为零． 2．底数的对数等于1，即logaa＝1. 3．零和负数没有对数． 1．若3x＝2，则x＝log32.(　√　) 2．因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以logaa＝1.(　√　) 3．logaN>0(a>0且a≠1，N>0)．(　×　) 4．若ln N＝，则N＝e.(　×　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、指数式与对数式的互化 例1　将下列指数式与对数式互化： (1)2－2＝；(2)102＝100； (3)ea＝16；(4)＝； (5)log39＝2；(6)logxy＝z(x>0且x≠1，y>0)． 解　(1)log2＝－2. (2)log10100＝2，即lg 100＝2. (3)loge16＝a，即ln 16＝a. (4)log64＝－. (5)32＝9. (6)xz＝y. 反思感悟　指数式与对数式互化的思路 (1)将指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)将对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 跟踪训练1　将下列指数式与对数式互化： (1)log216＝4；(2)＝6； (3)43＝64；(4)3－3＝. 解　(1)因为log216＝4，所以24＝16. (2)因为＝6，所以()6＝x. (3)因为43＝64，所以log464＝3. (4)因为3－3＝，所以log3＝－3. 二、利用对数式与指数式的关系求值 例2　(1)求下列各式中x的值： ①log64x＝－；②logx8＝6； ③lg 100＝x；④－ln e2＝x. 解　①x＝＝4－2＝. ②因为x6＝8，x>0，且x≠1， 所以x＝ ③因为10x＝100＝102，所以x＝2. ④由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2. 所以x＝－2. (2)设a＝log310，b＝log37，求3a－b的值． 解　因为a＝log310，b＝log37，所以3a＝10,3b＝7. 则3a－b＝＝. 反思感悟　要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解． 跟踪训练2　(1)计算log927， 的值； (2)求下列各式中x的值： ①log27x＝－；②logx16＝－4. 解　(1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33， ∴2x＝3，x＝. 设x＝，则()x＝81, ＝34， ∴＝4，x＝16. (2)①∵log27x＝－， ∴x＝ ＝3－1＝. ②∵logx16＝－4， ∴x－4＝16，即x4＝＝4， 又x>0，且x≠1， ∴x＝. 三、利用对数性质及对数恒等式求值 例3　求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)x＝ . 解　(1)∵log2(log5x)＝0， ∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5. (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000. (3)x＝ . 反思感悟　(1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．logaN＝0⇒N＝1；logaN＝1⇒N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记． (2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：alogaN＝N，logaaN＝N. 跟踪训练3　(1)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 答案　A 解析　∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.∴x＝3. 同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9. (2)设 ＝27，则x＝________. 答案　13 解析　因为＝27，所以2x＋1＝27，解得x＝13. 1．将－2＝9写成对数式，正确的是(　　) A．log9＝－2