4.1.2 指数函数的性质与图像(一)（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

4．1.2　指数函数的性质与图像(一) 学习目标　1.理解指数函数的概念，了解底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图像的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域． 知识点一　指数函数的定义 函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 知识点二　指数函数的图像与性质 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质 a>1 0<a<1 图像 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 恒过点(0,1) 在R上是单调递增函数 在R上是单调递减函数 当x<0时，y∈(0,1)，当x>0时，y∈(1，＋∞) 当x<0时，y∈(1，＋∞)，当x>0时，y∈(0,1) 1．y＝x2是指数函数．(　×　) 2．指数函数y＝ax中，a可以为负数．(　×　) 3．指数函数的图像一定在x轴的上方．(　√　) 4．函数y＝x是减函数．(　√　) 一、指数函数的概念 例1　(1)(多选)下列一定是指数函数的是(　　) A．y＝ax(a>0且a≠1) B．y＝xa(a>0且a≠1) C．y＝x D．y＝(a－2)ax (2)已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，则a＝________，b＝________. 答案　(1)AC　(2)2　2 解析　(1)A中a的范围正确，故是指数函数； B中y＝xa(a>0且a≠1)中底数是变量，故不是指数函数； C中y＝x显然是指数函数； D中只有a－2＝1，即a＝3时为指数函数． (2)由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2.将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2. 反思感悟　判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求． (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求． 跟踪训练1　(1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　　) A．a＝1或－1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a>0且a≠1 (2)已知函数f(x)是指数函数，且f ＝，则f(3)＝________. 答案　(1)C　(2)125 解析　(1)因为函数y＝a2(2－a)x是指数函数， 所以即a＝－1. (2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f ＝得 所以a＝5，即f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125. 二、指数函数图像的简单应用 例2　(1)下列几个函数的图像如图所示：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx.则a，b，c，d与0和1的关系是(　　) A．0<a<b<1<c<d B．0<b<a<1<d<c C．0<b<a<1<c<d D．1<a<b<c<d (2)若函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有(　　) A．0<a<1，且b>0 B．a>1，且b>0 C．0<a<1，且b<0 D．a>1，且b<0 答案　(1)B　(2)C 解析　(1)由指数函数图像得当底数大于1时为增函数，并且底数越大增加的越快，因此得到c>d>1，反之，1>a>b>0，所以0<b<a<1<d<c. (2)函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图像是由函数y＝ax的图像经过向上或向下平移而得到的，因其图像不经过第一象限，所以a∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(0<a<1)的图像向下平移大于1个单位长度，即b－1<－1，所以b<0. 反思感悟　处理指数函数图像问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图像过定点(0,1)，求指数型函数图像所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图像所过的定点． (2)巧用图像变换：函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 跟踪训练2　(1)函数y＝ax－3＋3(a>0且a≠1)的图像过定点________． (2)函数y＝a|x|(a>1)的图像是(　　) 答案　(1)(3,4)　(2)B 解析　(1)因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图像过定点(3,4)． (2)函数y＝a|x|是偶函数， 当x>0时，y＝ax. 由已知a>1，所以y＝ax在(0，＋∞)上是增函数． 又当x＝0时，函数y＝a0＝1，即过定点(0,1)， 所以选项B的图像符合． 三、指数型函数的定义域和值域 例3　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝；(2)y＝－|x|；(3)y＝. 解　(1)∵x应满足x－4≠0，∴x≠4， ∴定义域为{x|x≠4，x∈R}． ∵≠0，∴≠1， ∴y＝的值域为{y|y>0且y≠1}． (2)定义域为R. ∵|x|≥0，∴y＝－|x|＝|x