4.1.2 指数函数的性质与图像(三)（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

4．1.2　指数函数的性质与图像(三) 学习目标　1.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断.2.掌握指数函数在现实生活中的应用.3.掌握指数函数的综合性问题． 一、指数型函数的单调性 例1　(1)求函数y＝的单调区间； (2)求函数y＝2x－8·x＋17的单调区间． 解　(1)y＝的定义域为R. 在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数， 所以y＝在(－∞，3]上是增函数． 在(3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函数， 所以y＝在(3，＋∞)上是减函数． 所以y＝的增区间是(－∞，3]，减区间是(3，＋∞)． (2)设t＝x，t>0， 又y＝t2－8t＋17在(0,4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增． 令x≤4，得x≥－2. 所以当－2≤x1<x2时，， 即4≥t1>t2，所以t－8t1＋17<t－8t2＋17. 所以y＝2x－8·x＋17的增区间是[－2，＋∞)． 同理可得减区间是(－∞，－2)． 反思感悟　复合函数单调性问题归根结底是由x1<x2到f(x1)与f(x2)的大小，再到g(f(x1))与g(f(x2))的大小关系问题，即当两个函数单调性相同时，复合后函数为增函数；当两个函数单调性相反时，复合后函数为减函数． 跟踪训练1　求下列函数的单调区间． (1)y＝ ； (2)y＝. 解　(1)设y＝au，u＝x2＋2x－3， 由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， 得u在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，＋∞)上为增函数． 当a>1时，y关于u为增函数； 当0<a<1时，y关于u为减函数， 所以当a>1时，原函数的增区间为(－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]； 当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为(－1，＋∞)． (2)已知函数y＝的定义域为{x|x≠0}． 设y＝，u＝0.2x，易知u＝0.2x为减函数． 而根据y＝的图像可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y是关于u的减函数，所以原函数的增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 二、指数函数的实际应用 例2　某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市的人口总数y(万人)与经过x(年)后的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)． (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) 解　(1)1年后该城市人口总数为 y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)3； … x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10 ＝100×1.01210≈112.7(万人) 反思感悟　解决指数函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论． 跟踪训练2　(1)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的3.1%，则该生物生存的年代距今约(　　) A．1.7万年 B．2.3万年 C．2.9万年 D．3.5万年 答案　C 解析　∵碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，3.1%＝≈＝5，∴该生物生存的年代距今约5 730×5＝28 650≈2.9(万年)． (2)已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件． 答案　1.75 解析　∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1， 当x＝2时，y＝1.5，则有 解得∴y＝－2×(0.5)x＋2. 当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)． 三、指数函数的综合运用 例3　设函数f(x)＝－. (1)证明：函数f(x)是奇函数； (2)证明：函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数； (3)求函数f(x)在[1,2]上的值域． (1)证明　函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． f(－x)＝－＝－＝ ＝－＋＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． (2)证明　设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两个实数， 且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ . 因为x1<x2，所以，