4.1.2 指数函数的性质与图像(二)（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

4．1.2　指数函数的性质与图像(二) 学习目标　1.能借助指数函数的性质比较大小.2.会解简单的指数方程、不等式． 一、解指数方程 例1　解下列关于x的方程： (1)81×32x＝x＋2； (2)22x＋2＋3×2x－1＝0. 解　(1)因为81×32x＝x＋2， 所以32x＋4＝3－2(x＋2)， 所以2x＋4＝－2(x＋2)，所以x＝－2. (2)因为22x＋2＋3×2x－1＝0， 所以4×(2x)2＋3×2x－1＝0. 令t＝2x(t>0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0， 解得t＝或t＝－1(舍去)． 所以2x＝，解得x＝－2. 反思感悟　(1)af(x)＝b型方程通常化为同底来解． (2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为二次方程求解时，要注意根的取舍． 跟踪训练1　解下列关于x的方程： (1)33x－2＝81； (2)＝； (3)52x－6×5x＋5＝0. 解　(1)因为81＝34，所以33x－2＝34， 所以3x－2＝4，解得x＝2. (2)因为＝，所以， 所以＝，解得x＝. (3)令t＝5x，则t>0， 原方程可化为t2－6t＋5＝0， 解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1， 所以x＝1或x＝0. 二、比较大小 例2　比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)与； (3)1.50.3和0.81.2. 解　(1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5<3.2， ∴1.52.5<1.53.2. (2)指数函数y＝x与y＝x的图像(如图)， 由图知. (3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1， 而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2. (学生) 反思感悟　比较指数式大小的3种类型及处理方法 跟踪训练2　比较下列各组数的大小： (1)0.8－0.1，1.250.2； (2)1.70.3，0.93.1； (3)a0.5与a0.6(a>0且a≠1)． 解　(1)∵0<0.8<1， ∴y＝0.8x在R上是减函数． ∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1， 而0.8－0.2＝－0.2＝1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2. (2)∵1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1， ∴1.70.3>0.93.1. (3)a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值． 当0<a<1时，函数y＝ax在R上是减函数． ∵0.5<0.6，∴a0.5>a0.6. 当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数． ∵0.5<0.6，∴a0.5<a0.6. 综上所述，当0<a<1时，a0.5>a0.6； 当a>1时，a0.5<a0.6. 三、解指数型不等式 例3　(1)不等式4x<42－3x的解集是________． 答案　 解析　∵4x<42－3x，∴x<2－3x，∴x<. (2)解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0且a≠1)． 解　①当0<a<1时， ∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6. ②当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6. 综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥－6}； 当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}． 反思感悟　指数型不等式的解法 (1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法： 当a>1时，f(x)>g(x)； 当0<a<1时，f(x)<g(x)． (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0且a≠1)，a－x＝x(a>0且a≠1)等． 跟踪训练3　(1)已知不等式≤3x<27，则x的取值范围为(　　) A．－≤x<3 B.≤x<3 C．R D．－≤x< 答案　A 解析　由题意可得≤3x<33，再根据函数y＝3x在R上是增函数，可得－≤x<3. (2)已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________． 答案　 解析　∵a2＋a＋2＝2＋>1， ∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x⇔x>1－x⇔x>. ∴x∈. 1．(多选)下列判断正确的是(　　) A．2.52.5>2.53 B．0.82<0.83 C．π2> D．0.90.3>0.90.5 答案　CD 解析　∵y＝πx是增函数，且2>， ∴π2>； ∵y＝0.9x是减函数，且0.5>0.3， ∴0.90.3>0.90.5.故CD正确． 2．方程42x－1＝16的解是(　　) A．x＝－ B．x＝ C．x＝1 D．x＝2 答案　B 解析　42x－1＝42，所以2x－1＝2，x＝. 3．若a3.1>a3