4.1.1 实数指数幂及其运算（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

§4.1　指数与指数函数 4．1.1　实数指数幂及其运算 学习目标　1.理解n次方根及根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.3.掌握根式与分数指数幂的互化.4.掌握有理数指数幂的运算性质． 知识点一　根式 1．a的n次方根的概念 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根． 2．根式的意义和性质 当有意义时，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数． 根式的性质： (1)()n＝a； (2)＝ 知识点二　分数指数幂 1．分数指数幂的意义 分 数 指 数 幂 正分数指数幂 ① ＝， ②＝()m＝ 负分数指数幂 a－s＝(s是正分数，a≠0) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 2.有理数指数幂的运算法则 (1)asat＝as＋t(s，t∈Q)； (2)(as)t＝ast(s，t∈Q)； (3)(ab)s＝asbs(b>0，s∈Q)． 知识点三　实数指数幂 无理数指数幂at(a>0，t是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．因此当a>0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义，对任意实数s和t，类似有理数指数幂的运算法则仍然成立． 1．当n∈N＋时，()n都有意义．(　×　) 2．＝.(　×　) 3.＝π－3.(　√　) 4．0的任何指数幂都等于0.(　×　) 一、根式与分数指数幂的互化 例1　(1)若有意义，则实数x的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(－∞，2] C．(2，＋∞) D．(－∞，2) 答案　C 解析　由负分数指数幂的意义可知， ＝， 所以x－2>0，即x>2， 所以x的取值范围是(2，＋∞)． (2)根式 (a>0)的分数指数幂的形式为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　＝ . (3)(多选)下列各式正确的是(　　) A.＝ B.2＝a－2b2 C.＝ D.＝ 答案　BD 解析　选项A中，＝，因此不正确． 选项B中，2＝a－2b2，因此正确． 选项C中，＝＝，因此不正确． 选项D中，＝ ，因此正确． 反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律及技巧 (1)规律：根指数分数指数幂的分母． 被开方数(式)的指数分数指数幂的分子． (2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简． 跟踪训练1　将下列各式化为分数指数幂的形式： (1)(x>0)； (2)(a>0，b>0)． 解　(1)原式＝ ＝ . (2)原式＝ ＝ 二、根式、分数指数幂的化简与求值 例2　计算下列各式： (1)0＋2－2×－0.010.5； (2) (3) (a>0，b>0)． 解　(1)原式＝1＋× ＝1＋－＝. (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3 ＝－1＋＋＝. (3)原式＝ ＝a0b0＝. 反思感悟　利用指数幂的运算法则化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶数(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． 跟踪训练2　计算： (1)－10(－2)－1＋(－)0； (2) (x>0，y>0，z>0)． 解　(1)原式＝ －10(＋2)＋1 ＝＋10－10－20＋1＝－. (2)原式＝ ＝ 三、数式的条件求值问题 例3　已知＝3，求下列各式的值． (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3). 解　(1)∵＝3，∴＝9， 即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7. (2)∵a＋a－1＝7， ∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49. ∴a2＋a－2＝47. (3) ＝(a－1＋a－1)＝3×(7－1)＝18. 反思感悟　条件求值问题的常用方法 (1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值． (2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果． 跟踪训练3　设＝m，则等于(　　) A．m2－2 B．2－m2 C．m2＋2 D．m2 答案　C 解析　将＝m平方得＝m2， 即a－2＋a－1＝m2， 所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋＝m2＋2， 得＝a＋＝m2＋2. 1.＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　) A．a≥2 B．2≤a<4或a>4 C．a≠2 D．a≠4 答案　B 解析　要使原式有意义，需满足 解得2≤a<4或a>4. 2．