山东省淄博第四中学2021-2022学年高二下学期数学学分认定（期中）考试试题

淄博四中高2020 级高二下学期第一次 学分认定检测·数学 ·答案 一、 1-5 ADACD , 6-8 DCA 二、 9.AD 10.BC 11.AD 12.CD 三、 13. -1 14. (0,1) 15. 2022 16. 2, 7578 四、 17. 【答案】(1) 1 ;(2) −3 . 【详解】 (1) f (x) = x3 − 3ax−1 不 f ' (x) = 3x2 −3a,函数 f (x) = x3 − 3ax−1 在 x =− 1处取得极值, 所以有 f' (−1) = 0 不 3(−1)2 − 3a = 0 不 a = 1 ; (2)由(1) 可知: f(x) = x3 −3x−1 不 f (x)' = 3x2 −3 = 3(x+1)(x−1), 当 x=(−2, −1) 时, f ' (x) > 0,函数 f (x) 单调递增, 当 x=(−1,1) 时, f ' (x) < 0 ,函数 f (x) 单调递减, 故函数 在 x =− 1处取得极大值,因此 f (−1) = (−1)3 − 3〉(−1) −1=1, f (−2) = (−2)3 −3〉(−2) −1 = − 3, f (1) = 13 − 3〉1−1 = − 3,故函数 f (x) 的最小值为 −3 . 18. 【答案】 (1) − ;(2)k=0 或 k=1. 【详解】 (1)由题意可得 S1 = k +1, S3 = 9k + 3, S7 = 49k + 7, ∵ S1 、 3S3 、 S7 成等差数列, :6〉(9k + 3) = k +1+ 49k + 7 ,解得 k =− ; (2)当 n = 1 时, a1 = S1 = k +1; 当 n 之 2 时, an = Sn − Sn−1 = (kn2 + n) − k(n−1)2 + (n−1) = 2kn− k +1. a1 = k +1符合an = 2kn− k +1, :an = 2kn− k +1. ∵ am 、a2m 、a4m成等比数列,则 a2 (2)m = ama4m, 即(4km− k +1)2 = (2km− k +1)(8km− k +1), 整理得mk (k −1) = 0 对任意的 m=N* 恒成立, 因此, k = 0 或k = 1 . 19. 【答案】 (1) an = 3n ;(2)7n = . 【详解】 (1)因为 Sn = ,故当 n = 1 时, a1 = 3, 当 n 之 2 时, Sn−1 = , 则 an = Sn − Sn−1 = 3n (n 之 2), 当 n = 1 时, a1 = 3 满足上式, 所以an = 3n . 4 4 ( 1 1 ) (2)由(1)得bn = log3 an . log3 an+1 = n(n+1) = 4 |\ n − n+1)|, 所以Tn = b1 + b2 + b3 + ⋯ + bn = 4 × (1 − + − + ⋯ + − ) = 4 (1 − ) = . 故数列恳bn }的前n 项和7n = . 20. 【答案】(1) 条件性选择见解析, an = 2n ;(2) 7n = 3 − . 【详解】 (1)选①:因为 a2, a3, a4 − 4 成等差数列, 所以2a3 = a2 + a4 − 4, 又因为数列恳an }的公比为 2, 所以 2a1 根 22 = 2a1 + a1 根 23 − 4, 即8a1 = 2a1 + 8a1 − 4 ,解得a1 = 2, 所以 an = 2根 2n−1 = 2n . 选②:因为 Sn = 2an − 2, 当 n = 1 时, S1 = 2a1 − 2 ,解得 a1 = 2 . 当 n > 2 时, Sn−1 = 2an−1 − 2, 所以 an = Sn − Sn−1 = (2an − 2)− (2an−1 − 2) = 2an − 2an−1 . 即an = 2an−1 (n > 2) .所以数列恳an }是首项为 2,公比为 2 的等比数列.故 an = 2根 2n−1 = 2n . 选③: 因为 Sn = 2n+1 − 2 ,所以当 n = 1 时, S1 = a1 = 2, 当 n > 2 时, Sn−1 = 2n − 2, 所以 an = Sn − Sn−1 = (2n+1 − 2) − (2n − 2) = 2n, 当 n = 1 时, a1 = 21 = 2 依然成立. 所以 an = 2n . (2)由(1)知 an = 2n ,则bn = = = , 所以Tn = + + + ⋯ + , ① Tn = + + ⋯ + + , ② ①-②得Tn = 1 + ( + + ⋯ + ) − ( 1 2 n + 1 1 2 n + 1