备战2022届高考考前二级公式微专题训练系列第7章平面向量(8）三角”心”之内心

备战2022高考考前二级公式微专题系列 第7章 平面向量(8）三角”心”之内心 1.内心I(incenter))的定义：三角形各边的角分线的交点（内切圆的圆心） 2.内心I(incenter))的几何性质： ①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． ②内切圆半径的计算一般涉及等面积变形，公式；特别地，在Rt△ABC中，∠C=90°，． ③I为△ABC的内心,A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则I（,）． 3.内心I(incenter))向量相关公式： (1)I为△ABC内心a＋b＋c=； (2)I为△ABC内心； (3)I为△ABC内心； (4)I为△ABC内心； (6)I为△ABC内心∙（+）=∙（+）=∙（+）=0； (7)I为△ABC内心设为△ABC所在平面内任意一点，；(8)=(+)(≥0)点P轨迹经过△ABC的内心 . 【罗师导航】内心的向量关系的分解与合成，侧重构造菱形 【能力过关检测】 考查角度一、确定“心” 【1-1】中，a､b､c分别是BC､AC､AB的长度，若，则O是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B；【解析】∵，且 ∴ ， 在的角平分线上，同理在的角平分线上， 点为三角形的角平分线的交点，故点是三角形的内心.故选：B. 【1-2】已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C【解析】， 根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上， 而向量与共线，点的轨迹过的内心，故选：． 【1-3】在中，，，，则直线通过的 A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】C【解析】，，，即 设，，则，． 由向量加法的平行四边形法则可知，四边形为菱形．为菱形的对角线，平分．直线通过的内心．故选：． 【1-4】已知O是平面上一点，，A、B、C是平面上不共线的三个点，点O满足，则O点一定是△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B【解析】，， 即，，O点为的角平分线上的点，同理可得O点为的角平分线上的点，所以O点为△ABC角平分线的交点，O点是一定是△ABC的内心.故选：B 【1-5】设的角、、的对边长分别为，，，是所在平面上的一点，，则点是的　　 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【解析】因为， 所以，， 所以，， 所以， 所以，，所以是的平分线，是的平分线所以点是的内心，故选：． 【1-6】已知点在平面中，且，则点是的（ ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】D【解析】由数量积的定义可知，两向量的数量积是一个实数. ， ，，. 当时，，如图所示，即，， 点在的内角的角平分线上.同理，点在的内角的角平分线上，点在的内角的角平分线上.点是的内心. 【1-7】平面内及一点满足，则点是的（ ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 【答案】B；【解析】由知，， 即，即 ，则是 的角平分线， 同理，即，则是的角平分线，则点是的内心. 【1-8】在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（ ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】B；【解析】延长AC，使得AC=CD，则， 因为，所以，因为，所以，所以是等腰三角形，所以点M在BD的中垂线上，所以AM平分，直线AM一定经过的内心.故选：B. 【1-9】已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的 心； 【提示】注意：题设中“”与单位向量的联系及其“几何意义：与菱形的关联”； 【答案】内心；【解析】由条件，得－＝λ，即＝λ， 而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心； 【说明】本题主要考查的单位向量与菱形几何性质的整合，揭示与三角形“内心”的关联； 【1-10】为所在平面内一点，，，为的角，若，则点为的 心； 【答案】内；【解析】由正弦定理得，即，由上式可得， 所以，所以与的平分线共线，即在的平分线上，同理可证，也在，的平分线上，故是的内心． 考查角度二、应用“心” 【2-1】设O是△ABC的内心，A