备战2022届高考考前二级公式微专题训练系列第7章平面向量(6）三角”心”之垂心

备战2022高考考前二级公式微专题系列 第7章 平面向量(6）三角”心”之垂心 1.垂心H(orthocenter)的定义;三角形各边的垂线的交点 2.垂心H(orthocenter)的几何性质; ①垂心和顶点的连线与对应的边垂直，即为高． ②锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外． 3.垂心H(orthocenter)向量相关公式; （1）H是的垂心； （2）H是的垂心； （3）H是的垂心(非直角三角形）； （4）H是的垂心(非直角三角形）； (5)=(+)(≥0)点P轨迹经过△ABC的垂心. 【罗师导航】垂心的向量关系的分解与合成，侧重构数量积为0 【能力过关检测】 考查角度一、确定“心” 【1-1】设为的外心，若，则是的（ ） A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点） C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点） 【答案】C；【解析】在中，为外心，可得， ∵，∴，设的中点为，则，，∴，可得在边的高线上．同理可证，在边的高线上， 故是三角形两高线的交点，可得是三角形的垂心， 【1-2】已知点在所在平面内，且，则点是的 A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 【答案】C；【解析】，，即，， 同理可得，，是的垂心．故选：． 【1-3】在四面体中，，，点在面上的射影为点，则点为的　　 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【解析】作出在底面的射影，连结，， ，，分别为，在平面内的射影， ，，由三垂线逆定理得：，， 为三角形的垂心．故选：． 【1-4】已知点O为△ABC所在平面内一点，且， 则O一定为△ABC的 （ ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】C；【解析】设则， 由题意，，即化简可得，同理由可得，故点O是△ABC 的垂心，故选：C 【1-5】已知是所在平面内一点，且满足，则点（ ） A．在边的高所在的直线上 B．在平分线所在的直线上 C．在边的中线所在的直线上 D．是的外心 【答案】A；【解析】取的中点，则∵ ∴，∴ ∴，∴，∴点在边的高所在的直线上 【1-6】已知的外接圆的的圆心是M，若，则P是的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】D；【解析】如图，、分别是、的中点，连，，， 则有，而，∴，即有，有与共线，∵的外接圆的的圆心是M，有，则，同理有，，∴P是的垂心.故选：D. 【1-7】已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【提示】注意：理解“＋”的化简； 【答案】B；【解析】因为＝＋λ(＋)，所以＝－＝λ(＋)，所以·＝·λ(＋)＝λ(－||＋||)＝0， 所以⊥，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心； 【说明】本题主要考查了如何结合向量的数量积化简题设的“分母”；以及在判别垂心中的应用； 【1-8】若为所在平面内一点，且 则点是的( ) A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 证明: B C H A 图6 得 即 同理， 故H是△ABC的垂心 【1-9】向量所在直线一定通过△的________心. 【提示】注意：理解非零向量的充要条件“” 【解析】答案：垂心；设, 则，所以； 即已知向量所在直线一定通过△的垂心； 【评注】由已知利用向量数量积“寻找”与验证“向量垂直的充要条件”. 考查角度二、应用“心” 【2-1】在中，，，是的中点，是的垂心，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B；【解析】根据题意画出图象，如图：是的垂心，可得 是的中点，可得为中线，故 【2-2】 设H是△ABC的垂心，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D；【解析】因为，由三角形垂心的向量定理得 设，， 由代入得，解之得 所以又因为，所以. 【2-3】 设H是△ABC的垂心，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】因为，由三角形垂心的向量定理得，设，， 由代入得，解之得 所以又因为，所以. 【2-4】 设H为的垂心，且，则___