备战2022届高考考前二级公式微专题训练系列第7章平面向量(3）”奔驰“定理

备战2022高考考前二级公式微专题系列 第7章 平面向量(3）“奔驰”定理 1、奔驰定理：是内的一点，且，则；由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”． 2、证明过程：已知是内的一点，，，的面积分别为，，， 求证：. 证明：延长与边相交于点，则， ，∵， ∴，∴，所以. 3.奔驰定理推论：是所在平面内的一点，，则 ①；②，，. 题型一、奔驰定理的直接应用求面积 【罗师导航】当向量关系式为奔驰定理标准形式时，可直接找到对应面积之间的比例关系.若莫有记住奔驰定理，则需分析向量表示的几何图形的分割面积比例关系，灵活多变，比较复杂，有时度量面积比例关系难.可用罗氏定位万能比例法处理：其基本模型，用爪子定理构三点共线，顺向或者反向延长定位三角形的第三顶点，分割图形的面积比例关系易求得. 【例1-1】设点在所在平面内，若，则与的面积比为 . 【例1-2】已知点是所在平面内一点，满足，，则 . 【能力过关检测】 【1-1】设点在的内部，且，则的面积与的面积之比是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【1-2】设点在的内部，且，若的面积是27，则的面积为 . 【1-3】已知点是的内一点，且，则 . 题型二、奔驰定理的变式应用求面积 考查角度一、点在三角形内部 【罗师导航】所给向量关系不是奔驰定理标准形式时，可以先将向量关系通过向量线性运算化简成奔驰定理标准形式，转化为题型一，再根据奔驰定理得出各三角形面积之间的比例关系. 【例2-1-1】如图，设为所在平面内的一点，且，则与的面积之比等于（ ） A. B. C. D. 【例2-1-2】已知点是所在平面内的一点，若满足，且，则实数的值是______. 【例2-1-3】已知P，Q为△ABC中不同的两点，且3＋2＋＝0，＋＋＝0，则S△PAB∶S△QAB为_____． 【能力过关检测】 【2-1-1】在中，为所在平面内一点，且，则等于(　　) A． B． C． D． 【2-1-2】已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于( ) A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 【2-1-3】设点在的内部，且，则的面积与的面积之比是 . 【2-1-4】点在内的一点，，则的面积与的面积之比是 . 【2-1-5】已知点P是内一点，满足，,则S△ABC= . 考查角度二、点在三角形外部 【罗师导航】当点在三角形外部时，化简所得到的奔驰定理形式中，，会有负数出现，此时直接使用奔驰定理推论即可. 【例2-2-1】已知点是所在平面内一点，若，则与的面积比为（ ） A． B． C． D． 【能力过关检测】 【2-2-1】点在所在平面上，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【2-2-2】已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是 . 考查角度二、点在三角形边上 【罗师导航】当点在三角形上时，可直接利用等高的思想判断面积之间的比例关系，再进行等量代换即可得出结果.奔驰定理在此处的作用只是提供一个分析的方向 【例2-3-1】已知的三个顶点，，及坐在平面内一点满足，若与的面积分别为，，则 【答案】2；【解析】∵，∴，即是上靠近的一个三等分点，∴与的面积之比为2. 【能力过关检测】 【2-3-1】设是所在平面内的一点，且，则与的面积的比值是（ ） A. B. C. D. 【2-3-2】已知点在正所确定的平面上，且满足，则的面积与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【2-3-3】所在平面上一点P满足（，m为常数），若的面积为6，则的面积为_____. 【2-3-4】已知，则与的面积之比为 ． 【2-3-5】已知内接于以点O为