四川省绵阳南山中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题

2022年5月 绵阳南山中学2022年春季高2020级半期考试 数学（理科）试题 命题人：幸济蒸 审题人：蔡晓军 本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共6页．满分150分． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 命题“,若,则”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是 A. B. C. D. 2. 设复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 3. 已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（ ） A. ，，共线 B. O，A，B，C中至少有三点共线 C. 与共线 D. O，A，B，C四点共面 4. 一个关于自然数n命题，已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当时命题成立，那么综上可知，该命题对于（ ） A. 一切自然数成立 B. 一切正整数成立 C. 一切正奇数成立 D. 一切正偶数成立 5. 4名运动员同时参与到三项比赛冠军的争夺，则最终获奖结果种数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若函数在为增函数，则实数的取值范围是 A. B. C D. 9. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ） A. 8种 B. 14种 C. 20种 D. 116种 10. 已知a，b是异面直线，A，B是a上的点，C，D是b上的点，，，且，，则a与b所成角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 11. 已知t和是函数零点，且也是函数的极小值点，则的极大值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 12. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项：用钢笔将答案直接写在答题卷上． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卷中的横线上． 13. 已知函数，则的值为______． 14. 某单位拟从A，B，C，D，E，F六名员工中选派三人外出学习，要求： （1）A，C二人中至少选一人； （2）B，E二人中至少选一人； （3）B，C二人中至多选一人； （4）A，D二人中至多选一人． 由于E因病无法外出，则该单位最终选派的三位员工为：______． 15. 将A，B，C，D四份不同的文件放入编号依次为的五个抽屉，每个抽屉只能放一份文件，要求文件A，B必须放入相邻的抽屉，文件C，D不能放入相邻的抽屉，则满足要求的放置方法共有______种． 16. 双曲正弦函数和双曲余弦函数在工程学中有广泛的应用，也具有许多迷人的数学性质．若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数的图象分别相交于点、，曲线在处的切线与曲线在处切线相交于点，则如下命题中为真命题的有______（填上所有真命题的序号）． ①，； ②； ③点必在曲线上； ④的面积随的增大而减小． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）请将下列真值表补充完整；（空格处填上“真”或“假”） p q 真 真 真 ______ 真 假 ______ 真 假 真 ______ 假 假 假 真 ______ （2）给定命题p：对任意实数x都有成立；命题q：关于x的方程有实根．已知命题和命题都是真命题，求实数a的取值范围． 18. 如图，在直三棱柱中，，，，M是的中点，. （1）求的长； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20. 某市环保局对该市某处环境状况进行实地调研发现，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，总比例常数为．现已知相距10km的A，B两家化工厂（污染源），A化工厂的污染强度未知，暂记为，B化工厂的污染强度为4，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工