专题04 平面与平面的位置关系（考点解读+考点归纳+10类题型）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第三册）

【解析版】 专题04 平面与平面的位置关系 本章主要讨论三维空间中的直线与平面，从四个简单直观的公理（也称为“基本事实”)出发，通过演绎推理的方法建立起关于空间的点、直线与平面之间基本关系的比较系统完整的理论；这方面的要求与“二期课改“教材相比，有明显的提高，因此课程的难度也略有增大；作这样变化的目的在于克服学生空间直观想象和逻辑推理上的不足；所以，充分利用教材的内容但不要超越教材的难度，注意给学生铺设好从平面到立体的台阶，聚焦培养学生的能力和索养； 因此，在学习过程中，培养学生的空间观念与空间想象能力是学习立体几何的关键；教学中，应关注空间图形及其位置关系的多种表征方式；如实物、模型、图形、符号及文字等，并通过不同表征方式的相互转化来帮助学生理解空间概念、图形和解决，用好长方体这一直观的模型； ． 一、《必修第二册》目录与内容提要 【本章教材目录】 第10章 空间直线与平面 10.1 平面及其基本性质 10.1.1 空间的点、直线与平面；10.1.2 相交平面；10.1.3 空间图形的平面直观图的画法； 10.2 直线与直线的位置关系 10.2.1 空间的平行直线；10.2.2 异面直线；10.2.3 两条异面直线所成的角； 10.3 直线与平面的位置关系 10.3.1 直线与平面平行；10.3.2 直线与平面垂直；10.3.3 直线与平面所成的角；10.3.4 三垂线定理； 10.4 平面与平面的位置关系 10.4.1 平面与平面平行；10.4.2 二面角 *10.5 异面直线间的距离 【本章内容提要】 1、立体几何中的公理及其推论 （1）公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上； （2）公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面； 推论1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面； 推论2 两条相交直线确定一个平面； 推论3 两条平行直线确定一个平面； （3）公理3 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （4）公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行； 2、直线与直线的位置关系 （1）有三种可能的位置关系：相交、平行、异面； （2）等角定理　如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等； 推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补； 推论2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； （3）异面直线的定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线； （4）异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线是异面直线； （5异面直线所成的角的定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角； 3、直线与平面的位置关系 （1）直线与平面平行的判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行； （2）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行； （3）线面垂直的定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直； （4）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线与该平面垂直； （5）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直； 推论:2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直； （6）线面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角； （7）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直； 4、平面与平面的位置关系 （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；（2）两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； （3）一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，一个二面角的大小等于它的平面角的大小； （4）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直； （5）平面与平面垂直的性质定理：如果果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两个平面交线的直线与另一个平面垂直； *5、异面直线间的距离 （1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）定义：两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离； 1、两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 α∥β 0个 两平面相交 α∩β＝l 无数个点(共线) 【说明】如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行； 2、平面与平面平行的判定定理 文字语言 符号语言 图形语言 平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 【说明】可以由直线与平面平行判断平面与平面平行；即将平面与平面的平行关系转化为直线与平面的平行关系； 3、平面与平面平行的性质定理 文字语言 符号语言 图形语言 两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； 若 // β， ∩β=b，∩=a， 则a// b; 结论：夹在两个平行平面间的平行线段相等 4、二面角 文字语言 符号语言 图形语言 二面角的定义：如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面； 二面角的记法： ①棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α-AB-β； ②也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、 Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q； ③棱记作l，这个二面角记作二面角α-l-β或P-l-Q； 二面角的平面角的定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角； 二面角的大小可以用它的平面角来度量， 二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度； 二面角的平面角θ的取值范围为0o≤θ≤180o． 我们把平面角是直角的二面角叫做直二面角 求二面角的一般步骤： （1）作：在棱上选择恰当的一个点，在两半平面内分别作与棱垂直的射线，两射线组成的角，即为二面角的平面角； （2）证：证明（1）中所作出的角就是二面角的平面角；注：关键证明线线垂直） （3）求：通过解三角形，求出(1)中所作的角的大小； 用三垂法作二面角的平面角的一般步骤： （1）在其中一个半平面内取恰当的一点P，过点P作另一个平面的垂线，垂足设为Q； （2）过点Q作棱l的垂线，垂足为O，连接OP； （3）易知，l垂直OP，所以∠POQ即为二面角 的平面角； 5、平面互相垂直的定义 文字语言 符号语言 图形语言 当两个平面相交所成的二面角是直二面角时，我们就说这两个平面互相垂直； β 6、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 符号语言 图形语言 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 若l, l⸦β， 则 β; 7、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 符号语言 图形语言 平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于交线的直线与另一个平面垂直； 若 β，∩ β=l， m⸦，且m l； ，则m β； 【注意】这个定理说明了，可以由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直 结论：如果α，β，γ是三个不同的平面，且α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．那么：l⊥γ． 题型1、准确理解平面与平面的位置关系 例1、（1）以下四个命题中，正确的命题有(　 　) ①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行； ④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交. A．③④ B．②③④ C．②④ D．①④ 【答案】A 【解析】当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面， 所以①②错误； （2）如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　 　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直 【答案】C； 【解析】根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系.如图所示. 【说明】1、平面与平面的位置关系的判断方法： （1）平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点. （2）平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点. 2、常见平面与平面平行的几何模型：长方体、正方体中三组相对的面平行； 题型2、平面与平面平行的理解与应用 例2、（1）如图，已知点P在三角形ABC外，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________. 【答案】平行 【解析】在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC. 又DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF， 所以平面DEF∥平面ABC. （2）如图，平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点P，且AP＝1，BP＝4，CD＝6，那么CP＝________. 【答案】2 【解析】因为平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β， 直线AB与CD交于点P，所以AC∥BD，所以＝， 因为AP＝1，BP＝4，CD＝6， 所以＝，所以CP＝2. 题型3、平面与平面平行的判定方法 例3、（1）已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点； 求证：平面MDB1∥平面ANC. 【证明】如图所示，连接MN. 因为M，N分别是所在棱的中点， 所以四边形AMB1N和四边形MNCD是平行四边形. 所以MB1∥AN，CN∥MD. 又MB1⊂平面MDB1，AN⊄平面MDB1， 所以AN∥平面MDB1， 同理可证CN∥平面MDB1， 又因为AN∩CN＝N， AN⊂平面ANC，CN⊂平面ANC， 所以平面MDB1∥平面ANC. （2）如图所示，点P在矩形ABCD所在平面外， E，F，H分别为AB，CD，PD的中点， 求证：平面AFH∥平面PCE. 【证明】因为F为CD的中点，H为PD的中点， 所以FH∥PC， 又FH⊄平面PEC，PC⊂平面PEC， 所以FH∥平面PCE. 又AE∥CF且AE＝CF， 所以四边形AECF为平行四边形， 所以AF∥CE， 又AF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE， 所以AF∥平面PCE. 又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F， 所以平面AFH∥平面PCE； 【说明】1、证明两个平面平行主要方法：（1）根据定义证明两平面没有公共点（采用反证法）；（2）判定定理；（3）利用平行平面的传递性； 2、利用面面平行的判定定理，关键是在一个平面内找（或作出）两条相交直线与另一个平面平行，在证明时一定要说明两条直线相交； 题型4、平面与平面平行的性质定理及其应用 例4、（1）如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D. ①求证：AC∥BD； ②已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长. 【解析】①证明　∵PB∩PD＝P， ∴直线PB和PD确定一个平面γ ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD. 又α∥β，∴AC∥BD. ②由①得AC∥BD，则＝. 又PA＝4，AB＝5，PC＝3. ∴＝，∴CD＝， 故PD＝PC＋CD＝. （2）已知平面α∥平面β，若点P在平面α与β之间，其它条件不变. ①求证：AC∥BD； ②已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长. 【解析】①如图，∵PB∩PD＝P， ∴PB，PC确定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD. 又α∥β， ∴AC∥BD， ②由①△PAC∽△PBD， ∴＝， 即＝. 又PA＝4，AB＝5，PC＝3. ∵＝，则PD＝. 【说明】1、利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤 （1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； （2）判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)； （3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； （4）由定理得出结论； 2、类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例； （2） 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】 题型5、空间平行关系的综合应用 例5、（1）平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是(　 　) A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面 【答案】D； 【解析】充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．故选D. （2）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，求证： ①MN∥平面CC1D1D； ②平面MNP∥平面CC1D1D. 【解析】①连接AC，CD1， 因为ABCD是正方形，N是BD的中点，所以N是AC的中点， 又因为M是AD1的中点，所以MN∥CD1， 因为MN⊄平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D， 所以MN∥平面CC1D1D. ②连接BC1，C1D， 因为B1BCC1是正方形，P是B1C的中点， 所以P是BC1的中点， 又因为N是BD的中点，所以PN∥C1D， 因为PN⊄平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D. 所以PN∥平面CC1D1D， 由(1)得MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN＝N， 所以平面MNP∥平面CC1D1D. 【说明】1、常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立存在的，而是相互联系、相互转化的，它们的联系如下： 2、判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是由高一级的平行关系推出低一级的平行关系； 题型6、二面角及其求法 例6、（1）在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是(　　) A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B．.AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β 【答案】D 【解析】由二面角的平面角定义，应满足的条件为D项. （2）如图所示，AB是⊙O的直径， PA垂直于⊙O所在的平面， C是圆周上的一点，且PA＝AC， 求：二面角P－BC－A的大小； 【解析】∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC. ∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC. 而PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC； 又∵BC是二面角P－BC－A的棱， ∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角. 由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°，故二面角P－BC－A的大小是45°； 【说明】1、二面角是一个空间图形，其大小是利用二面角的平面角进行度量，注意二面角与两相交平面所成的角并不一致； 2、求二面角大小主要分为三步“一作、二证、三计算”； 3、作二面角的平面角常采用：（1）定义法；（2）垂面法；（3）垂线法（利用线面垂直转化）； 题型7、平面与平面垂直的判定 例7、（1）如图，空间四边形ABCD中，点E，F分别为AC，AD的中点，AD⊥CD，BA＝BD，求证：平面EFB⊥平面ABD. 【证明】在△ACD中，因为E，F分别是AC，AD的中点， 所以EF∥CD，因为EF⊄平面BCD，CD⊂平面BCD， 所以EF∥平面BCD. 在△ACD中，AD⊥CD，EF∥CD， 所以EF⊥AD，因为在△ABD中，BA＝BD，F为AD的中点，所以BF⊥AD， 因为EF⊂平面EFB，BF⊂平面EFB， 且EF∩BF＝F， 所以AD⊥平面EFB，因为AD⊂平面ABD，所以平面EFB⊥平面ABD. （2）在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC. 【证明】∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC. ∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC. 【说明】证明平面与平面垂直的方法： 1、利用定义：证明二面角的平面角为直角； 2、利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直； 题型8、平面与平面垂直条件的探求 例8、（1）如图，AB是圆O的直径， PA垂直圆O所在的平面ABC， 点C是圆上的任意一点， 图中有________对平面与平面垂直(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面ABC. 同理，平面PAC⊥平面ABC. 又AC⊥BC，BC⊥PA，且PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC，由BC⊂平面PBC，从而平面PBC⊥平面PAC，故图中相互垂直的平面有3对. （2）如图，点P在四边形ABCD外， 底面ABCD为菱形， ∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形. ①求证：AD⊥PB； ②若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论. 【解析】①证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图. 因为△PAD为等边三角形， 所以PG⊥AD. 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°， G为AD的中点，所以BG⊥AD. 又因为BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PGB， 所以AD⊥平面PGB. 因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB. ②当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD. 证明如下： 如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE， 则在△PBC中，EF∥PB，从而EF∥平面PGB， 在菱形ABCD中，GB∥DE， 从而DE∥平面PGB， 而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E， 所以平面DEF∥平面PGB. 由(1)，得AD⊥平面PGB，而AD⊂平面ABCD， 所以平面PGB⊥平面ABCD. 所以平面DEF⊥平面ABCD. 【说明】1、平面与平面垂直的判定定理的应用： （1）本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直. （2）证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决； 题型9、对平面与平面垂直的性质定理的理解及其应用 例9、（1）已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是(　　) A．l∥β或l⊂β B．l∥m C．m⊥α D．l⊥m 【答案】A 【解析】结合长方体模型，l∥β或l⊂β成立，A正确； 易得l与m相交，异面或l∥m，知选项B，D错误； 易知C错误，m∥α或m⊂α或m⊥α或m与α相交； （2）如图，点P在三角形ABC外， PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥AB. 【证明】如图，在平面PAB内， 作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC， 且平面PAB∩平面PBC＝PB， AD⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. 【说明】利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时， 要注意以下三点：（1）两个平面垂直；（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线； 题型10、空间垂直关系的相互转化 例10、如图，点P在四边形ABCD所在平面外， AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB， 平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD， E和F分别是CD和PC的中点. 求证： （1）PA⊥底面ABCD； （2）BE∥平面PAD； （3）平面BEF⊥平面PCD. 【证明】（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD， 所以PA⊥底面ABCD. （2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四边形ABED为平行四边形. 所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD. （3）因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF.所以CD⊥EF. 又EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF， 所以CD⊥平面BEF. 又CD⊂平面PCD， 所以平面BEF⊥平面PCD. 【说明】1、熟练垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路； 2、垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明； 1、若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是____________________ 【答案】相交 【解析】∵点A∈α，B∉α，C∉α， ∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合， ∴平面ABC与平面α的位置关系是相交. 2、已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线.若α∩β＝a，β∩γ＝b，且α∥γ，则a与b的位置关系是________. 【答案】　a∥b 【解析】由平面与平面平行的性质定理可判定a∥b. 3、二面角α－l－β的大小为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________. 【答案】60° 【解析】过直线a上一点作b的平行线b′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知， a与b′的夹角为60°，所以a与b所成角的大小是60°. 4、从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是 【答案】60°或120° ； 【解析】∵PE⊥α，PF⊥β， ∴P，E，F三点确定的平面垂直于α和β. 过点E作l的垂线，垂足为O，连接OF，易知l⊥OF且P，E，O，F四点共面， 则∠FOE为二面角的平面角， 如图①所示， 此时，∠FOE＋∠EPF＝180°， ∴二面角α－l－β的平面角为120°. 当点P的位置如图②所示时， 此时∠FOE＝∠EPF， ∴二面角α－l－β的平面角为60°. 5、已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论： ①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α； ②若m∥α，则m平行于α内的所有直线； ③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m∥n； ④若n⊂β，n⊥α，则α⊥β. 其中正确结论的序号是________.(把正确结论的序号都填上) 【答案】①④ 【解析】故②错误；③中，两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的内容为面面垂直的判定定理，故④正确. 6、α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________. 【答案】①③④⇒② 【解析】m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面， ∵n⊥β，m⊥α， ∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直， 从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β. 故答案为①③④⇒②. 7、如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有(　　 ) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】D 【解析】∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAB⊥平面ABCD， 又由题意可得CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB， ∴平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，∴共有5对互相垂直的平面. 8、如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　 ) A.2∶25 B.4∶25 C.2∶5 D.4∶5 【答案】B 【解析】∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′， 同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′， S△A′B′C′∶S△ABC＝＝＝. 9、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD. 【证明】如图，过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF， 则＝. ∵B1E＝C1F，B1A＝C1B， ∴＝.∴FG∥B1C1∥BC， 易得EG∥平面ABCD， FG∥平面ABCD， 又∵EG∩FG＝G，EG，FG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面ABCD， 又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD. 10、如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直， AD与CE的交点为M， AC⊥BC，且AC＝BC. （1）求证：AM⊥平面EBC； （2）求直线EC与平面ABE所成角的正切值； 【解析】（1）证明：∵平面ACDE⊥平面ABC， 平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC， ∴BC⊥平面ACDE. 又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM. ∵四边形ACDE是正方形，AM⊥CE. 又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC. （2）取AB的中点F，连接CF，EF. ∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC， 平面ACDE∩平面ABC＝AC， ∴EA⊥平面ABC， ∵CF⊂平面ABC，∴EA⊥CF. 又AC＝BC，∴CF⊥AB. ∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB， ∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角. 在Rt△CFE中，CF＝，FE＝， tan∠CEF＝＝. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【原卷版】 专题04 平面与平面的位置关系 本章主要讨论三维空间中的直线与平面，从四个简单直观的公理（也称为“基本事实”)出发，通过演绎推理的方法建立起关于空间的点、直线与平面之间基本关系的比较系统完整的理论；这方面的要求与“二期课改“教材相比，有明显的提高，因此课程的难度也略有增大；作这样变化的目的在于克服学生空间直观想象和逻辑推理上的不足；所以，充分利用教材的内容但不要超越教材的难度，注意给学生铺设好从平面到立体的台阶，聚焦培养学生的能力和索养； 因此，在学习过程中，培养学生的空间观念与空间想象能力是学习立体几何的关键；教学中，应关注空间图形及其位置关系的多种表征方式；如实物、模型、图形、符号及文字等，并通过不同表征方式的相互转化来帮助学生理解空间概念、图形和解决，用好长方体这一直观的模型； ． 一、《必修第二册》目录与内容提要 【本章教材目录】 第10章 空间直线与平面 10.1 平面及其基本性质 10.1.1 空间的点、直线与平面；10.1.2 相交平面；10.1.3 空间图形的平面直观图的画法； 10.2 直线与直线的位置关系 10.2.1 空间的平行直线；10.2.2 异面直线；10.2.3 两条异面直线所成的角； 10.3 直线与平面的位置关系 10.3.1 直线与平面平行；10.3.2 直线与平面垂直；10.3.3 直线与平面所成的角；10.3.4 三垂线定理； 10.4 平面与平面的位置关系 10.4.1 平面与平面平行；10.4.2 二面角 *10.5 异面直线间的距离 【本章内容提要】 1、立体几何中的公理及其推论 （1）公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上； （2）公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面； 推论1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面； 推论2 两条相交直线确定一个平面； 推论3 两条平行直线确定一个平面； （3）公理3 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （4）公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行； 2、直线与直线的位置关系 （1）有三种可能的位置关系：相交、平行、异面； （2）等角定理　如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等； 推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补； 推论2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； （3）异面直线的定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线； （4）异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线是异面直线； （5异面直线所成的角的定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角； 3、直线与平面的位置关系 （1）直线与平面平行的判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行； （2）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行； （3）线面垂直的定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直； （4）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线与该平面垂直； （5）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直； 推论:2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直； （6）线面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角； （7）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直； 4、平面与平面的位置关系 （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；（2）两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； （3）一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，一个二面角的大小等于它的平面角的大小； （4）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直； （5）平面与平面垂直的性质定理：如果果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两个平面交线的直线与另一个平面垂直； *5、异面直线间的距离 （1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）定义：两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离； 1、两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 α∥β 0个 两平面相交 α∩β＝l 无数个点(共线) 【说明】如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行； 2、平面与平面平行的判定定理 文字语言 符号语言 图形语言 平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 【说明】可以由直线与平面平行判断平面与平面平行；即将平面与平面的平行关系转化为直线与平面的平行关系； 3、平面与平面平行的性质定理 文字语言 符号语言 图形语言 两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； 若 // β， ∩β=b，∩=a， 则a// b; 结论：夹在两个平行平面间的平行线段相等 4、二面角 文字语言 符号语言 图形语言 二面角的定义：如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面； 二面角的记法： ①棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α-AB-β； ②也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、 Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q； ③棱记作l，这个二面角记作二面角α-l-β或P-l-Q； 二面角的平面角的定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角； 二面角的大小可以用它的平面角来度量， 二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度； 二面角的平面角θ的取值范围为0o≤θ≤180o． 我们把平面角是直角的二面角叫做直二面角 求二面角的一般步骤： （1）作：在棱上选择恰当的一个点，在两半平面内分别作与棱垂直的射线，两射线组成的角，即为二面角的平面角； （2）证：证明（1）中所作出的角就是二面角的平面角；注：关键证明线线垂直） （3）求：通过解三角形，求出(1)中所作的角的大小； 用三垂法作二面角的平面角的一般步骤： （1）在其中一个半平面内取恰当的一点P，过点P作另一个平面的垂线，垂足设为Q； （2）过点Q作棱l的垂线，垂足为O，连接OP； （3）易知，l垂直OP，所以∠POQ即为二面角 的平面角； 5、平面互相垂直的定义 文字语言 符号语言 图形语言 当两个平面相交所成的二面角是直二面角时，我们就说这两个平面互相垂直； β 6、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 符号语言 图形语言 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 若l, l⸦β， 则 β; 7、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 符号语言 图形语言 平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于交线的直线与另一个平面垂直； 若 β，∩ β=l， m⸦，且m l； ，则m β； 【注意】这个定理说明了，可以由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直 结论：如果α，β，γ是三个不同的平面，且α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．那么：l⊥γ． 题型1、准确理解平面与平面的位置关系 例1、（1）以下四个命题中，正确的命题有(　 　) ①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行； ④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交. A．③④ B．②③④ C．②④ D．①④ （2）如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　 　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直 （1）平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点. （2）平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点. 2、常见平面与平面平行的几何模型：长方体、正方体中三组相对的面平行； 题型2、平面与平面平行的理解与应用 例2、（1）如图，已知点P在三角形ABC外，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________. （2）如图，平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点P，且AP＝1，BP＝4，CD＝6，那么CP＝________. 题型3、平面与平面平行的判定方法 例3、（1）已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点； 求证：平面MDB1∥平面ANC. （2）如图所示，点P在矩形ABCD所在平面外， E，F，H分别为AB，CD，PD的中点， 求证：平面AFH∥平面PCE. 【说明】1、证明两个平面平行主要方法：（1）根据定义证明两平面没有公共点（采用反证法）；（2）判定定理；（3）利用平行平面的传递性； 2、利用面面平行的判定定理，关键是在一个平面内找（或作出）两条相交直线与另一个平面平行，在证明时一定要说明两条直线相交； 题型4、平面与平面平行的性质定理及其应用 例4、（1）如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D. ①求证：AC∥BD； ②已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长. （2）已知平面α∥平面β，若点P在平面α与β之间，其它条件不变. ①求证：AC∥BD； ②已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长. 【说明】1、利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤 （1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； （2）判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)； （3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； （4）由定理得出结论； 2、类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例； 题型5、空间平行关系的综合应用 例5、（1）平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是(　 　) A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面 （2）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，求证： ①MN∥平面CC1D1D； ②平面MNP∥平面CC1D1D. 【说明】1、常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立存在的，而是相互联系、相互转化的，它们的联系如下： 2、判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是由高一级的平行关系推出低一级的平行关系； 题型6、二面角及其求法 例6、（1）在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是(　　) A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B．.AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β （2）如图所示，AB是⊙O的直径， PA垂直于⊙O所在的平面， C是圆周上的一点，且PA＝AC， 求：二面角P－BC－A的大小； 【说明】1、二面角是一个空间图形，其大小是利用二面角的平面角进行度量，注意二面角与两相交平面所成的角并不一致； 2、求二面角大小主要分为三步“一作、二证、三计算”； 3、作二面角的平面角常采用：（1）定义法；（2）垂面法；（3）垂线法（利用线面垂直转化）； 题型7、平面与平面垂直的判定 例7、（1）如图，空间四边形ABCD中，点E，F分别为AC，AD的中点，AD⊥CD，BA＝BD，求证：平面EFB⊥平面ABD. （2）在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC. 【说明】证明平面与平面垂直的方法： 1、利用定义：证明二面角的平面角为直角； 2、利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直； 题型8、平面与平面垂直条件的探求 例8、（1）如图，AB是圆O的直径， PA垂直圆O所在的平面ABC， 点C是圆上的任意一点， 图中有________对平面与平面垂直(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 （2）如图，点P在四边形ABCD外， 底面ABCD为菱形， ∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形. ①求证：AD⊥PB； ②若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论. 【说明】1、平面与平面垂直的判定定理的应用： （1）本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直. （2）证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决； 题型9、对平面与平面垂直的性质定理的理解及其应用 例9、（1）已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是(　　) A．l∥β或l⊂β B．l∥m C．m⊥α D．l⊥m （2）如图，点P在三角形ABC外， PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥AB. 【说明】利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时， 要注意以下三点：（1）两个平面垂直；（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线； 题型10、空间垂直关系的相互转化 例10、如图，点P在四边形ABCD所在平面外， AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB， 平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD， E和F分别是CD和PC的中点. 求证： （1）PA⊥底面ABCD； （2）BE∥平面PAD； （3）平面BEF⊥平面PCD. 【说明】1、熟练垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路； 2、垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明； 1、若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是____________________ 2、已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线.若α∩β＝a，β∩γ＝b，且α∥γ，则a与b的位置关系是________. 3、二面角α－l－β的大小为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________. 4、从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是 5、已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论： ①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α； ②若m∥α，则m平行于α内的所有直线； ③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m∥n； ④若n⊂β，n⊥α，则α⊥β. 其中正确结论的序号是________.(把正确结论的序号都填上) 6、α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________. 7、如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有(　　 ) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 8、如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　 ) A.2∶25 B.4∶25 C.2∶5 D.4∶5 9、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD. 10、如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直， AD与CE的交点为M， AC⊥BC，且AC＝BC. （1）求证：AM⊥平面EBC； （2）求直线EC与平面ABE所成角的正切值； ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$