第07讲 线面角（核心考点讲与练）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第三册）

第07讲 线面角（核心考点讲与练） ( 考点 考向 ) 直线和平面所成的角 (1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：. ( 方法 技巧 ) 求直线和平面所成角的关键 作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。 ( 能力拓展 ) 题型一：线面角的概念及辨析 一、单选题 1．（2021·上海市中国中学高二阶段练习）平面的斜线l与平面交于点A，且斜线l与平面所成的角是，则与平面内所有不过点A的直线所成的角的范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面角中最小角定理求解． 【详解】斜线l与平面所成的角是，则直线与平面内所有直线所成角中最小角为，显然为最大角为，因此范围为， 故选：C． 2．（2018·上海市金山中学高二期中）已知的一边在平面内，，点在平面内的射影为点，则与的大小关系为 A． B． C． D．以上情况都有可能 【答案】D 【分析】考虑两种动态变化的情况：（1）为锐角三角形时，考虑绕边旋转时变化的情况；（2）当为钝角时，考虑绕边旋转时变化的情况. 【详解】分情况讨论： （1）为锐角三角形时，当绕顺时针旋转时（起始位置为与重合），从变化到（平面平面时），故旋转过程中会有. （2）为钝角时，当绕顺时针旋转时（起始位置为与重合），从变化到（平面平面时），故旋转过程中会有. 综上，应选D. 【点睛】比较空间角的大小关系时，如果直接计算比较它们的大小比较困难时，则可考虑在动态变化过程中特定角变化的过程，从而得到两者之间的大小关系. 二、填空题 3．（2021·上海交大附中闵行分校高二阶段练习）平面的一条斜线和这个平面所成角θ的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据平面的一条斜线的定义和线面角的定义即可求解. 【详解】由线面角的定义可知，线与面的夹角范围为， 又因为斜线与平面不垂直，不平行，也不在平面内，所以斜线与平面所成角的取值范围是. 故答案为：. 4．（2021·上海市进才中学高二期中）直线与平面所成角为, 则直线与平面内的任意一条直线所成角的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据“斜线与平面所成角是斜线与平面内的直线所成的最小角”得到所成角的最小值，并且根据线线角的范围可求出所成角的最大值，即可得到对应的角的范围. 【详解】因为直线与平面所成角为，所以根据“最小角定理”可知直线与平面内的任意一条直线所成角的最小值为， 又因为线线夹角的最大值为， 所以直线与平面内的任意一条直线所成角的范围是：. 故答案为. 【点睛】本题考查线面夹角的有关问题，难度一般. 最小角定理：斜线与平面所成角是斜线与平面内的直线所成的最小角. 三、解答题 5．（2021·上海静安·高二期末）如图，直线l是平面的斜线，且与平面斜交于点M， l上异于点M的一点A在平面上的射影为O，在平面内过点M作一条直线m，直线m和直线MO不重合，设直线l和直线m的夹角为θ，求证∶∠AMO < θ. 【分析】在平面内过O作直线m的垂线，垂足为N，连接AN，得，由直角三角形的斜边大于直角边可得，得到，再由正弦函数的单调性得结论． 【详解】证明：如图所示： 在平面内过O作直线m的垂线，垂足为N，连接AN， 因为AO⊥α，m⊂α，∴AO⊥m,又∵ON⊥m,ON∩AN=N,∴m⊥平面AON,∴m⊥AN. 在中，， 在中，由斜边大于直角边可得，， 在中，， ，， 由直线与平面所成角及空间两直线所成角的范围可知，，均属于 由正弦函数在上为增函数，可得：． 题型二：求线面角 一、填空题 1．（2021·上海·西外高二期中）在正方体中，A1B与平面BB1D1D所成角的余弦值为___________. 【答案】 【分析】作出直线与平面所成的角，解直角三角形求得所成角的余弦值. 【详解】如图取的中点，连接，根据正方体的性质可知平面. 连接，则为在平面内的射影， 所以为所求的线面角. 在中，， 所以. 所以 故与平面所成角的余弦值为. 故答案为： 二、解答题 2．（2022·上海市进才中学高二期中）圆柱的轴截面ABCD是正方形，E是底面圆周上一点，DC与AE成60°角，. (1)求直线AC与平面BCE所成角的正弦值； (2)求点B到平面AEC的距离. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先证明出∠ACE是AC与平面BCE所成的角，解三角形求出； （2）利用等体积法求出点B到平面AEC的距离. (1)由题意可知,AB是底面圆的直径,所以AE⊥BE. 因为DC//AB,D