第04讲 线线、线面、面面平行的判定与性质（核心考点讲与练）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第三册）

第04讲线线、线面、面面平行的判定与性质（核心考点讲与练） ( 考点 考向 ) 1.平行直线 (1)平行公理 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行. (2)基本性质4(空间平行线的传递性) 平行于同一条直线的两条直线互相平行. (3)定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 2.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 3.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b ( 方法 技巧 ) 1．线面平行的证明方法 （1）定义法：一般用反证法； （2）判定定理法：关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程； （3）性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面． 2．构造平行直线的常用方法 （1）构建三角形或梯形的中位线：可直接利用线段的中点、等腰三角形三线合一或利用平行四边形对角线的交点找中点，从而构建中位线； （2）构建平行四边形：可以利用已知的平行关系(如梯形的上下底边平行)或构建平行关系(如构造两条直线同时平行于已知直线)，从而构建平行四边形． 应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行，还可以利用交线判断已知平面内的直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内所有和交线平行的直线都与已知直线平行，所有和交线相交的直线都与已知直线异面． 3.判定平面与平面平行的4种方法 （1）面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； （2）面面平行的判定定理(主要方法)； （3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)； （4）利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)． 利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决． ( 能力拓展 ) 题型一：线面平行的判定 1．（2021·上海市延安中学高二期中）已知正方体，求证：平面. 【分析】根据题意，结合线面平行的判定，即可证明. 【详解】证明：在正方体中，易知，因为平面，平面，所以平面. 2．（2021·上海市亭林中学高二阶段练习）如图，在正方体中，E、F分别为棱AD、AB的中点．求证：平面． 【分析】连接BD，由三角形中位线定理，根据正方体的性质，利用线面平行的判定定理证明. 【详解】连接BD，如图所示.因为E、F分别为棱AD、AB的中点，所以EF∥BD, 又∵根据正方体的性质，BB1//DD1，∴四边形BDD1B1为平行四边形，∴BD//B1D1, ∴EF//B1D1,又∵平面，B1D1⊂平面,∴平面． 3．（2021·上海市徐汇中学高二阶段练习）在正方体中，是棱的中点． （1）作出平面与平面的交线，保留作图痕迹； （2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，说明点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）答案见解析；（2）存在，中点． 【分析】（1）延长与交于点，连接即为所求； （2）存在，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，通过证明EG∥A1B可得四点共面，根据正方体的性质得到B1F∥BG，根据线面平行判定定理即可得结论. 【详解】（1）延长与交于点，连接， 由于，∴，平面 又∵平面，∴为面和面的公共点， 同时也为面和面的公共点， 根据公理3可得为平面与平面的交线. （2）存在，当为的中点时，满足题意，理由如下，如图所示， 分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG， 因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形， 因此D1C∥A1B， 又E，G分别为D1D，