2避开“暴力”计算优化解题过程（知识篇）-《中学生数理化》高考数学2022年4月

中学生款理化贺器数￥学每举新向 避开“暴力计算 优化解题过程 例析解析几何中“非对称”问题的处理策略 ■河北省南宫中学 刘少峰 解析几何中经常将直线与圆锥曲线方程联 <1,则x+-+2=2 -2= 立，消去x或y,得到一个一元二次方程，再利 xIx2 用根与系数的关系来表示待求代数式。这样的 324k2 处理策略可以快速解决形如x十x,|x1一x2|, 45k2+20-2= 324 45+20 2。因为k>5 ,所 +(陵时+女+动)等 'y1y2/ 以2 324k2 “对称式”问题，但是面对形如x1=入x2,入x 45k2+20 +x2(或y1=入y2,Ay1十y2)等“非对称式” 解得 1 5 <<5. 问题时，有些同学就会束手无策，找不到解题 思路。此时如果直接通过一元二次方程的求 综上可得，器的取值范围为[后) 根公式把两个根解出来，则还需要进一步判 评注：若已知x1=入x2或y1=入y2,则可 断这两个根分别对应的是哪两个点，因此，通 过“暴力”计算来处理，显然不是良策。鉴于 近用极孝式+要-“， 一2或+ 此，本文梳理了处理“非对称式”问题的四种 y2（y1+y2)2 类型，以期对同学们的复习备考能有所帮助。 一2来处理，这样既可以避开 类型一、x1=Ax2或y1=入y2型 “暴力”就算，又有事半功倍之效果。 例1设过点P(0,3)的直线1与椭圆 类型=十入或2十A型 +兰-1依次交于A,B两点(AP<PB) 2 1x1x2十42x2h1y1y2十42y2 则站的取值范图为一 贫2已知椭圆C:若+兰-1的上顶 点和下顶点分别为A,B,过点(0,4)且斜率 解析：当直线！的斜率不存在时，易得 为k的直线与椭圆C交于M,N两点，证明： AP 1 PB=58 直线BM与AN的交点G在定直线上，并求 当直线1的斜率存在时，可设直线1的 出该定直线的方程。 方程为y=kx十3，A(x1y1),B(x2,y2),由 解析：由题意得A(0,2),B(0,一2)，设 题意知x1,x2同号，不妨设x1>0,x2>0。 直线MN的方程为y=kx+4,设M(x1, 将y=k.x+3代入椭圆方程，消去y整理得 [y=kx+4, (9k2+4).x2+54k.x+45=0。 y1),N(x2,y2),联立 女2，消去y整 4=1, 由判别式△>0，可得>号从面 理得(1+2k2)x2+16kx+24=0,所以x1+ 54k 16k 24 x1十x2= x2= 9k2+41 1十2kx12:=1十2k0 45 x,直 9k2十4 直线AN的方程为y一2=：一2 注意到品--县令会-以0入 线BM的方程为y十2=当+2，x,联立 xI 知识篇科学备考新指向中学生数理化 高考数学2022年4月 y-2=y22 证明：易得椭圆的 /y+2=y,+2 消去x整理得y一 y+2 方程为号+=1，段 直线1的方程为y= （y,-2)2=（kx,十2)2=xx十2(x1 kx+1(k≠0)，C(x1, (y1+2)x2(k.x1+6)x2 k.x1x2+6x2 y1),D(x2,y2)。联立 x:的系数出现了不对称)。 [y=kx+1, 思路一：（保留x1和x2)由根与系数的 消去y 图1 3 关系得kx1x2= 2x十x),代入上式得 2+x2=1, 整理得(2+k2)x2十2kx一1=0，所以 3 1 3 2k y-2 (x1+x2)+2.x 2x1- 2x2 x1十x2= y+2 3 2 -(x1+x2)+6x2 1+9 3 2+k2, x2 直线AC的方程为y= 1 x1x2= 1 2十k2 =-一3，解得)=1，即直线BM与AN的交 点G在定直线y=1上。 c,十(x十1)，直线BD的方程为y= 思路二：（保留x1(或x2)和k)由x2= x2-7x-1)。 16k 24 1+2k2 一x1,x1x2= 1+2,可得y2 y+2 所以 x十1 y2(x1+1) x-1 24k y1(x2-1) kxx:+2x 1十2k+2.x (kx2+1)(x1+1) k.x1x2+kx2+x1+1 kx1x2十6x2 1+26+6(16k 24k (k.x1+1)(x2-1) k.x1x2一k.x1十x2-1 （1+2k2 (x1,x的系数出现了不对称)。 24k 1+2k3+2x, 思路一：（保留x1(或x2)和）注意到 -72k ,解得y=1,即直线BM 1 2k =- 2十k2,x1= x2,代入得 1+2k2 -6x1 k 2k 与AN的交点G在定直线y=1上。 x+1 2++6x:+（一2+x:）+1 评注：两种思路都是通过根与系数的关 x-1 k 系将待求式子中的三个量x1,x2,转化为两 2+6x)+,-1 个量来处理。思路一是将待求式子中的