1应用直线的参数方程解决解析几何问题（知识篇）-《中学生数理化》高考数学2022年4月

知识篇科学备考新指向中学生数理化 高考数学2022年4月 应用直线的参数方程解决解析几何问题 ■河北省南宫中学 霍忠林 解析几何问题是高考考查运算求解能力 +ny3一1≠0，故mcos2a+nsin2a=mcos23+ 和逻辑推理能力的主要题型，同学们的得分 nsin2B,化简得(m一n)·(sin2a一sin2B)=0。 率一直不理想，究其原因主要是找不到解题 而m≠n,故sina=sinB。又因为a,B∈[0， 思路或有解题思路但是计算不过关。同学们 x),且a≠B,所以a十B=π。 在进行高考备考的过程中可以发现，有些圆 评析：当mn<0时，圆锥曲线是双曲线： 锥曲线试题，若借助于直线的参数方程来处 当m>0,n>0时，圆锥曲线是椭圆。因此， 理，不但能快速找到解题思路、优化解题过 不管是椭圆，还是双曲线，四点共圆问题均可 程，还会收到“山重水复疑无路，柳暗花明又 以采用上述方法来处理。 一村”的奇效。下面举例说明直线的参数方 特别地，当m=1以=一。。=2时. 1 程在解答圆锥曲线问题中的巧妙应用。 类型一、圆锥曲线上的四点共圆问题 就是2021年新高考I卷第21题：在平面直 由平面几何知识我们知道，A,B,C,D 角坐标系xOy中，已知点F1(一17,0) 四点共圆的充要条件是|PA|·|PB|= F2(17,0),点M满足|MF1I一|MF2|=2, |PC·IPD|(其中P是直线AB与直线 记M的轨迹为C。 CD的交点)。 (1)求C的方程： 例1若A,B,C,D是圆锥曲线mx 十ny2=1(mn≠0且m≠n)上四个不同的 (2)设点T在直线x=上，过点T的 点，直线AB的倾斜角为α，直线CD的倾斜 两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两 角为B,直线AB与直线CD交于点P,则A, 点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线 B,C,D四点共圆的充要条件是α十B=π。 AB的斜率与直线PQ的斜率之和 证明：设P(x,yo),直线AB的参数方 当m= 1 车，n=1时，就是2016年高考四 x=x0十tcos a, 程为 (t为参数)，将其代入 y=yo+tsin a 川卷文科第20题：已知椭圆E,二十 b2 =1(a m.x2+ny2=1,化简得(mcos2a+nsin'a)t+ >b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三 2(mxocos a+nyo sin a)t+mxi+ny-1=0. 所以|PA|·|PB|=|LAL8I= 角形的三个顶点，点P(3,2)在椭圆E上。 mxi+ny-1 ,同理|PC·|PDI= (1)求椭圆E的方程； mcos'a+nsin'a tctol= n.x6+ny6-1 (2)设不过原点0且斜率为2的直线1 mcos B++nsin'B 与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的 因为A,B,C,D四点共圆的充要条件是 中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D两 |PA|·|PB|=|PCI·IPD|,所以 点，证明：|MA|·|MB|=|MC引·|MD|。 mxi+nyi-1 mxi+ny-1 mcos B++nsin2B ,注 采用类似的方法，可以得出抛物线也有 mcos a+nsin'a 意到tAtg与tctp一定同号，所以 类似性质。 m.x8+ny8-1m.x8+ny8-1 例2若A,B,C,D是抛物线x2=ay mcosa十nsin'amcos2B+nsin'而mx号 (或y2=a.x)(a≠0)上四个不同的点，直线 3 中学生款理化架器数学剂第备幸新 AB的倾斜角为a,直线CD的倾斜角为B,直 的右焦点为F,过点F的直线（与椭圆交于 线AB与直线CD交于点P,则A,B,C,D A,B两点。若直线l交y轴于点M,且MA 四点共圆的充要条件是α十B=π。 =入1A户，MB=入2BF,证明：入1十入2为定值。 证明：不妨以y=ax为例来证明。 证明：设右焦点F(c,0),直线l的参数 设P(x。,yo),直线AB的参数方程为 x=c+tcos 0, 方程为 (t为参数，0为直线 x=x十tcos a, y=tsin 0, (t为参数)，将其代入y2 y=yo+tsin a 的倾斜角且0≠罗），将其代入椭圆方程，化 ax,化简得sina·t2+(2 yosin a-acos a)t +y8-ax=0。 简得(bcos0+asin20)t2+(2 b2ccos0)t 所以|PAI·|PBI=|tAtB= b'=0,所以tA+tB= 2b'ccos 0 b'cos20+a2sin'0' yi-axo sina ,同理|PC|·|PD|=|tctD|= b2cos'0+a'sin20 yo-axo 由MA=x1A庐，Mi=入，B京，可得x1 sin'B 因为A,B,C,D四