专题03 均值不等式及其应用（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第3讲 均值不等式及其应用 学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、知识梳理 1.均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立.数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用均值不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 2、 考点和典型例题 1、利用均值不等式求最值 【典例1-1】（2022·辽宁鞍山·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值是（       ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【详解】 ，当且仅当时等号成立. 故选：B. 【典例1-2】（（2022·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足，则的最大值为（       ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】 因为， 所以 ，当且仅当时等号成立，因为， 所以，即，所以， 即，因为为正实数，所以，因此，故的最大值为，此时， 故选：B. 【典例1-3】（（2022·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（       ） A．6 B．9 C． D．18 【答案】B 【详解】 解：，，且， 且， ， 当且仅当，即且时取等号， 故的最小值为9； 故选：B 【典例1-4】（（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知，，，则的最小值为__． 【答案】 【详解】 ，当且仅当析，时，等号成立. 故答案为： 【典例1-5】（（2022·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______． 【答案】## 【详解】 由题意，，，，得：， 设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 故的最小值为， 故答案为： 2、均值不等式的综合应用 【典例2-1】（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（       ） A．19 B．23 C．25 D．85 【答案】B 【详解】 令且，则，而， 所以，令， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以，即最小值为23. 故选：B 【典例2-2】（2022·陕西渭南·二模（理））若对x，都有成立，则实数a的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由，得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， ， ， 由，得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为； 由题意知，恒成立，所以， 故a的最小值为. 故选：B. 【典例2-3】（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（       ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【详解】 因为，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以，，， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2 故选：D. 【典例2-4】（2022·安徽黄山·二模（理））设的内角的对边分别为，且满足，其中，若，则面积的取值范围为______________. 【答案】 【详解】 ， 化简得：， 由正弦定理可得：, ， ， 即， , 或， 即或，又，，即, ，又，，当仅当时等号成立， ，即，. 故答案为： 【典例2-5】（2022·浙江·高三开学考试）已知正实数a，b，c，，则的最小值为_______________． 【答案】## 【详解】 由正实数a，b，，可得 ， 所以 而，当且仅当 即 时取等号， 故 ， 当且仅当 时，即 时取等号， 故答案为： 3、均值不等式的实际应用 【典例3-1】两直立矮墙成二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为的直角梯形菜园墙足够长，则所用篱笆总长度的最小值为（       ） A．16m B．18m C． D． 【答案】B 【详解】 设，设篱笆长度为y，则，， 梯形的面积为， 整理得，当，即时等号成立， 所以篱笆总长度最小为18m． 故选：B 【典例3-2】如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅游的最佳选择.为了扩大对家乡旅游的宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照.已知慈寿塔DE的右侧是金山湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点A与湖对岸B，F点，设宝塔底部E点和这三个点在同一直线上，无人机从A点沿AD直线飞行200米到达宝塔顶部D点后，然后再飞到F点的正上方，对山脚的江天禅寺EB区域进行拍照.现测得从A处看宝塔顶部D的仰角为60°，，米.若无人机在C点处获得最佳拍照角度时（即最大），该无人机离地面的